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12数列★☆☆☆☆

S_{n}

是等差数列

\{a_{n}\}

n \in \mathbf{N}^{*}

n

a_{1} = 1

a_{4} = 7

S_{5} =

2011 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆

n \in \mathbf{N}^*

n

n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0

i = 0

a_i = 1

1 \leqslant i \leqslant k

a_i

为 0 或 1. 记

I(n)

为上述表示中

a_i

为 0 的个数（例如：

1 = 1 \times 2^0

4 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0

I(1) = 0

I(4) = 2

I(12) =

\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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22函数与初等函数★★★★★

f(x) = x^3

g(x) = x + \sqrt{x}

h(x) = f(x) - g(x)

的零点个数，并说明理由； (2) 设数列

\{a_{n}\}

n \in \mathbf{N}^{*}

a_{1} = a

a > 0

f(a_{n+1}) = g(a_{n})

，证明：存在常数

M

，使得对于任意的

n \in \mathbf{N}^{*}

a_{n} \leqslant M

2011 · 湖南 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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