公园要建造一个圆形的喷水池. 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 $OA$. $O$ 恰在水面中心，$OA=1.25\text{ 米}$. 安置在柱子顶端 $A$ 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 $OA$ 的任一平面上抛物线路径如图所示. 为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到 $OA$ 距离为 $1\text{ 米}$ 处达到距水面最大高度 $2.25\text{ 米}$. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外.

如图，抛物线方程为 $y^2=p(x+1)$（$p>0$），直线 $x+y=m$ 与 $x$ 轴的交点在抛物线的准线的右边.

(1) 求证：直线与抛物线总有两个交点； (2) 设直线与抛物线的交点为 $Q$，$R$，$OQ\perp OR$，求 $p$ 关于 $m$ 的函数 $f(m)$ 的表达式； (3) 在（2）的条件下，若 $m$ 变化，使得原点 $O$ 到直线 $QR$ 的距离不大于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $p$ 的取值范围.