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01函数与初等函数★★☆☆☆
解方程：x−1=3−x\sqrt{x-1}=3-x.

1977 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 解答题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
计算：2−12+202+12−12^{-\frac{1}{2}}+\frac{2^0}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}.

1977 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 解答题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 lg⁡2=0.3010\lg 2=0.3010，lg⁡3=0.4771\lg 3=0.4771，求 lg⁡45\lg\sqrt{45}.

1977 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 解答题

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04三角函数★★☆☆☆
证明：(1+tan⁡α)2=1+sin⁡2αcos⁡2α\left(1+\tan\alpha\right)^2=\dfrac{1+\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}.

1977 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 解答题

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05解析几何★★☆☆☆
求过两直线 x+y−7=0x+y-7=0 和 3x−y−1=03x-y-1=0 的交点且过 (1,1)(1,1) 点的直线方程.

1977 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 解答题

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06数列★☆☆☆☆
某工厂今年七月份的产值为 100 万元100\text{ 万元}，以后每月产值比上月增加 20%20\%，问今年七月份到十月份总产值是多少？

1977 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 解答题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知二次函数 y=x2−6x+5y=x^2-6x+5.
(1) 求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程； (2) 画出它的图象； (3) 分别求出它的图象和 xx 轴，yy 轴的交点坐标.

1977 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 解答题

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08三角函数★★☆☆☆
一只船以 20 海里/小时20\text{ 海里/小时} 的速度向正东航行，起初船在 AA 处看见一灯塔 BB 在船的北 45∘45^\circ 东方向，一小时后船在 CC 处看见这个灯塔在船的北 15∘15^\circ 东方向，求这时船和灯塔的距离 CBCB.

1977 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 解答题

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09三角函数★★★☆☆
有一个圆内接三角形 ABCABC，∠A\angle A 的平分线交 BCBC 于 DD，交外接圆于 EE，求证：AD⋅AE=AC⋅ABAD\cdot AE=AC\cdot AB.

1977 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 解答题

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10解析几何★★★☆☆
当 mm 取哪些值时，直线 y=x+my=x+m 与椭圆 x216+y29=1\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1 有一个交点？ 有两个交点？ 没有交点？ 当它们有一个交点时，画出它的图象.

1977 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 解答题

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11导数及其应用★★★★☆
(1) 求函数
f(x)={x2sin⁡πx,x≠0,0,x=0f(x)=\begin{cases} x^2\sin\dfrac{\pi}{x}, & x\ne0,\\ 0, & x=0 \end{cases}
的导数. (2) 求椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 绕 xx 轴旋转而成的旋转体体积.

1977 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
(1) 试用 ε−δ\varepsilon-\delta 语言叙述“函数 f(x)f(x) 在点 x=x0x=x_0 处连续”的定义. (2) 试证明：若 f(x)f(x) 在点 x=x0x=x_0 处连续，且 f(x0)>0f(x_0)>0，则存在一个 x0x_0 的邻域 (x0−δ,x0+δ)\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)，在这个邻域内，处处有 f(x)>0f(x)>0.

1977 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 解答题

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