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01三角函数★★☆☆☆
tan⁡[arccos⁡22−π6]=\tan\left[\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi}{6}\right]=______.

1999 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=log⁡2x+1f(x)=\log_{2}x+1（x⩾4x\geqslant4）的反函数 f−1(x)f^{-1}(x) 的定义域是______.

1999 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x3+2x2)5(x^{3}+\frac{2}{x^{2}})^{5} 的展开式中，含 x5x^{5} 项的系数为______.

1999 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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04三角函数★★★☆☆
在△ABC\triangle ABC中，若∠B=30∘\angle B=30^{\circ}，AB=23AB=2\sqrt{3}，AC=2AC=2，则△ABC\triangle ABC的面积 SS 是______.

1999 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★★☆☆☆
若平移坐标系，将曲线方程 y2+4x−4y−4=0y^{2} + 4x - 4y - 4 = 0 化为标准方程，则坐标原点应移到点 O′(‾,‾)O'(\underline{\hspace{2em}},\underline{\hspace{2em}}).

1999 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=2sin⁡xcos⁡x−2sin⁡2x+1y = 2\sin x \cos x - 2\sin^{2}x + 1 的最小正周期 T=T=______.

1999 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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07三角函数★★☆☆☆
函数 y=2sin⁡(2x+π6)y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6})（x∈[−π,0]x \in [-\pi, 0]）的单调递减区间是______.

1999 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
某工程的工序流程图如下（工时单位：天）， 现已知工程总时数为 10 天10\text{ 天}，则工序 cc 所需工时为______.

1999 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★☆☆☆☆
log⁡32log⁡2764=\frac{\log_{3}2}{\log_{27}64}=______.

1999 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中满足 3a4=7a73a_{4}=7a_{7}，且 a1>0a_{1}>0，SnS_{n} 是数列 {an}\{a_{n}\} 前 nn 项的和. 若 SnS_{n} 取得最大值，则 n=n=______.

1999 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11概率与统计★★☆☆☆
若以连续掷两次骰子分别得到的点数 mm，nn 作为点 PP 的坐标，则点 PP 落在圆 x2+y2=16x^{2} + y^{2} = 16 内的概率是______.

1999 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★★☆
若四面体各棱的长是 11 或 22，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是（只需写出一个可能的值）______.

1999 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
直线 y=33xy=\frac{\sqrt{3}}{3}x 绕原点按逆时针方向旋转 30∘30^{\circ} 后所得直线与圆 (x−2)2+y2=3(x-2)^{2}+y^{2}=3 的位置关系是（ ）
A.
直线过圆心
B.
直线与圆相交，但不过圆心
C.
直线与圆相切
D.
直线与圆没有公共点

1999 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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14解析几何★★★☆☆
下列以 tt 为参数的参数方程所表示的曲线中，与方程 xy=1xy = 1 所表示的曲线完全一致的是（ ）
A.
{x=t12,y=t−12\begin{cases} x=t^{\frac{1}{2}},\\ y=t^{-\frac{1}{2}} \end{cases}
B.
{x=∣t∣,y=1∣t∣\begin{cases} x=|t|,\\ y=\frac{1}{|t|} \end{cases}
C.
{x=cos⁡t,y=sec⁡t\begin{cases} x=\cos t,\\ y=\sec t \end{cases}
D.
{x=tan⁡t,y=cot⁡t\begin{cases} x=\tan t,\\ y=\cot t \end{cases}

1999 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
若 a<b<0a < b < 0，则下列结论中正确的是（ ）
A.
不等式 1a>1b\frac{1} {a} > \frac{1} {b} 和 1∣a∣>1∣b∣\frac{1} {|a|} > \frac{1}{|b|} 均不能成立
B.
不等式 1a−b>1a\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a} 和 1∣a∣>1∣b∣\frac{1}{|a|} > \frac{1}{|b|} 均不能成立
C.
不等式 1a−b>1a\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a} 和 (a+1b)2>(b+1a)2(a + \frac{1}{b})^2 > (b + \frac{1}{a})^2 均不能成立
D.
不等式 1∣a∣>1∣b∣\frac{1}{|a|} > \frac{1}{|b|} 和 (a+1b)2>(b+1a)2(a + \frac{1}{b})^2 > (b + \frac{1}{a})^2 均不能成立

1999 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
设有直线 mm，nn 和平面 α\alpha， β\beta，则在下列命题中，正确的是（ ）
A.
若 m∥n,m⊂α,n⊂βm \parallel n, m \subset \alpha, n \subset \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta
B.
若 m⊥αm \perp \alpha，m⊥nm \perp n，n⊂βn \subset \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta
C.
若 m∥nm \parallel n，n⊥βn \perp \beta，m⊂αm \subset \alpha，则 α⊥β\alpha \perp \beta
D.
若 m∥nm \parallel n，m⊥αm \perp \alpha，n⊥βn \perp \beta，则 α⊥β\alpha \perp \beta

1999 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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17集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣∣x−a∣<2}A = \{x\mid |x - a| < 2\}，B={x∣2x−1x+2<1}B = \{x\mid \frac{2x - 1}{x + 2} < 1\}. 若 A⊆BA \subseteq B，求实数 aa 的取值范围.

1999 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设正数数列 {an}\{a_{n}\} 为一等比数列，且 a2=4a_{2}=4，a4=16a_{4}=16，求 lim⁡n→∞lg⁡an+1+lg⁡an+2+⋯+lg⁡a2nn2\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\lg a_{n+1}+\lg a_{n+2}+\cdots+\lg a_{2n}}{n^{2}}.

1999 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19复数★★★☆☆
设复数 zz 满足 4z+2z‾=33+i4z + 2\overline{z} = 3\sqrt{3} + \mathrm{i}，w=sin⁡θ−icos⁡θw = \sin\theta - \mathrm{i}\cos\theta（θ∈R\theta \in \mathbf{R}），求 zz 的值和 ∣z−w∣|z - w| 的取值范围.

1999 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 PP—ABCDABCD 中，底面 ABCDABCD 是一直角梯形， ∠BAD=90∘\angle BAD = 90^{\circ}，AD∥BCAD \parallel BC，AB=BC=aAB = BC = a，AD=2aAD = 2a，且 PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，PDPD 与底面成 30∘30^{\circ} 角.
(1) 若 AE⊥PDAE \perp PD，EE 为垂足，求证：BE⊥PDBE \perp PD； (2) 求异面直线 AEAE 与 CDCD 所成角的大小（用反三角函数表示）.

1999 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
平地上有一条水沟，沟沿是两条长 100 米100\text{ 米} 的平行线段，沟宽 ABAB 为 2 米2\text{ 米}，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线顶点为 OO，对称轴与地面垂直，沟深 1.5 米1.5\text{ 米}，沟中水深 1 米1\text{ 米}.
(1) 求水面宽； (2) 如图所示形状的几何体为柱体. 已知柱体的体积为底面积乘以高. 问沟中的水有多少立方米？ (3) 若要把这条水沟改挖（不准填土）成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，则改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？

1999 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
设椭圆 ll 的方程为 (x+c)2b2+(y+c)2a2=1\frac{(x+c)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y+c)^{2}}{a^{2}}=1，其中 a>b>0a>b>0，cc 为椭圆的半焦距.
(1) 将椭圆 ll 绕它的上焦点按逆时针方向旋转 π2\frac{\pi}{2}，求所得椭圆 LL 的中心的坐标，长轴长，短轴长及其方程； (2) 若椭圆 LL 与曲线 y=1xy=\frac{1}{x} 在第一象限内只有一个公共点 PP，试用 aa 表示点 PP 的坐标； (3) 设 AA，BB 是椭圆 LL 的两个焦点，当 aa 变化时，求 △ABP\triangle ABP 的面积函数 S(a)S(a) 的值域.

1999 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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