下列命题正确的是（ ）

如图，半径为 $R$ 的半球 $O$ 的底面圆 $O$ 在平面 $\alpha$ 内，过点 $O$ 作平面 $\alpha$ 的垂线交半球面于点 $A$，过点 $O$ 的直径 $CD$ 与平面 $\alpha$ 成 $45^{\circ}$ 的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $\alpha$ 的距离最大的点为 $B$，该交线上的一点 $P$ 满足 $\angle BOP=60^{\circ}$，则 $A$，$P$ 两点间的球面距离为（ ）

如图，在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$M$，$N$ 分别是 $CD$，$CC_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1}M$ 与 $DN$ 所成角的大小是______.

如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中，$\angle APB = 90^{\circ}$，$\angle PAB = 60^{\circ}$，$AB = BC = CA$，点 $P$ 在平面 $ABC$ 内的射影 $O$ 在 $AB$ 上.

(1) 求直线 $PC$ 与平面 $ABC$ 所成角的正弦值； (2) 求二面角 $B - AP - C$ 的余弦值.