已知两个单位向量 $e_{1}$，$e_{2}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$，若向量 $b_{1} = e_{1} - 2e_{2}$，$b_{2} = 3e_{1} + 4e_{2}$，则 $b_{1} \cdot b_{2} =$______.