如图，已知双曲线 $C: (1 - a^2)x^2 + a^2y^2 - a^2 = 0$（参数 $a > 0$）. 若 $C$ 的上半支的顶点为 $A$，且与直线 $y = -x$ 交于点 $P$. 以 $A$ 为焦点，$M(0,m)$ 为顶点的开口向下的抛物线通过点 $P$. 当 $C$ 的一条渐近线的斜率在区间 $\left[\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{2\sqrt{2}}{3}\right]$ 上变化时，求直线 $PM$ 斜率的最大值.