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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣∣x∣<2}A=\{x\mid |x|<2\}，B={−2,0,1,2}B=\{-2,0,1,2\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）.
A.
{0,1}\{0,1\}
B.
{−1,0,1}\{-1,0,1\}
C.
{−2,0,1,2}\{-2,0,1,2\}
D.
{−1,0,1,2}\{-1,0,1,2\}

2018 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
在复平面内，复数 11−i\dfrac{1}{1-\mathrm{i}} 的共轭复数对应的点位于（ ）.
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2018 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 ss 值为（ ）.
A.
12\dfrac12
B.
56\dfrac56
C.
76\dfrac76
D.
712\dfrac{7}{12}

2018 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★☆☆☆☆
“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献. 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 21122^{\frac1{12}}. 若第一个单音的频率为 ff，则第八个单音的频率为（ ）.
A.
23 f\sqrt[3]{2}\,f
B.
223 f\sqrt[3]{2^2}\,f
C.
2512 f\sqrt[12]{2^5}\,f
D.
2712 f\sqrt[12]{2^7}\,f

2018 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 均为单位向量，则“∣a−3b∣=∣3a+b∣\left\lvert \boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}\right\rvert=\left\lvert 3\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right\rvert”是“a⊥b\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}”的（ ）.
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2018 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系中，记 dd 为点 P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta,\sin\theta) 到直线 x−my−2=0x-my-2=0 的距离，当 θ\theta，mm 变化时，dd 的最大值为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={(x,y)∣x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2}A=\{(x,y)\mid x-y\ge1,ax+y>4,x-ay\le2\}，则（ ）.
A.
对任意实数 aa，(2,1)∈A(2,1)\in A
B.
对任意实数 aa，(2,1)∉A(2,1)\notin A
C.
当且仅当 a<0a<0 时，(2,1)∉A(2,1)\notin A
D.
当且仅当 a≤32a\le \dfrac32 时，(2,1)∉A(2,1)\notin A

2018 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★☆☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，且 a1=3a_1=3，a2+a5=36a_2+a_5=36，则 {an}\{a_n\} 的通项公式为______.

2018 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，直线 ρcos⁡θ+ρsin⁡θ=a\rho\cos\theta+\rho\sin\theta=a（a>0a>0）与圆 ρ=2cos⁡θ\rho=2\cos\theta 相切，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡ ⁣(ωx−π6)f(x)=\cos\!\left(\omega x-\dfrac{\pi}{6}\right)（ω>0\omega>0），若 f(x)≤f ⁣(π4)f(x)\le f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) 对任意实数 xx 都成立，则 ω\omega 的最小值为______.

2018 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足 x+1≤y≤2xx+1\le y\le 2x，则 2y−x2y-x 的最小值是______.

2018 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
能说明“若 f(x)>f(0)f(x)>f(0) 对任意的 x∈(0,2]x\in(0,2] 都成立，则 f(x)f(x) 在 [0,2][0,2] 上是增函数”为假命题的一个函数是______.

2018 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），双曲线 N:x2m2−y2n2=1N:\dfrac{x^2}{m^2}-\dfrac{y^2}{n^2}=1. 若双曲线 NN 的两条渐近线与椭圆 MM 的四个交点及椭圆 MM 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 MM 的离心率为______；双曲线 NN 的离心率为______.

2018 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=7a=7，b=8b=8，cos⁡B=−17\cos B=-\dfrac17.
(1) 求 ∠A\angle A； (2) 求 ACAC 边上的高.

2018 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，CC1⊥CC_1\perp 平面 ABCABC，DD，EE，FF，GG 分别为 AA1AA_1，ACAC，A1C1A_1C_1，BB1BB_1 的中点，AB=BC=5AB=BC=\sqrt5，AC=AA1=2AC=AA_1=2.
(1) 求证：AC⊥AC\perp 平面 BEFBEF； (2) 求二面角 B−CD−C1B-CD-C_1 的余弦值； (3) 证明：直线 FGFG 与平面 BCDBCD 相交.

2018 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率0.40.20.150.250.20.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1) 从电影公司收集的电影中随机选取 11 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2) 从第四类电影和第五类电影中各随机选取 11 部，估计恰有 11 部获得好评的概率； (3) 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk=1\xi_k=1”表示第 kk 类电影得到人们喜欢，“ξk=0\xi_k=0”表示第 kk 类电影没有得到人们喜欢（k=1k=1，22，33，44，55，66）. 写出方差 D(ξ1)D(\xi_1)，D(ξ2)D(\xi_2)，D(ξ3)D(\xi_3)，D(ξ4)D(\xi_4)，D(ξ5)D(\xi_5)，D(ξ6)D(\xi_6) 的大小关系.

2018 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]exf(x)=\bigl[ax^2-(4a+1)x+4a+3\bigr]\mathrm{e}^x.
(1) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线与 xx 轴平行，求 aa； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=2x=2 处取得极小值，求 aa 的取值范围.

2018 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px 经过点 P(1,2)P(1,2). 过点 Q(0,1)Q(0,1) 的直线 ll 与抛物线 CC 有两个不同的交点 AA，BB，且直线 PAPA 交 yy 轴于 MM，直线 PBPB 交 yy 轴于 NN.
(1) 求直线 ll 的斜率的取值范围； (2) 设 OO 为原点，QM→=λQO→\overrightarrow{QM}=\lambda\overrightarrow{QO}，QN→=μQO→\overrightarrow{QN}=\mu\overrightarrow{QO}，求证：1λ+1μ\dfrac1\lambda+\dfrac1\mu 为定值.

2018 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★★
设 nn 为正整数，集合 A={(t1,t2,…,tn)∣ti∈{0,1}, i=1,2,…,n}A=\left\{(t_1,t_2,\ldots,t_n)\mid t_i\in\{0,1\},\ i=1,2,\ldots,n\right\}. 对于集合 AA 中的任意元素 α=(x1,x2,…,xn)\alpha=(x_1,x_2,\ldots,x_n) 和 β=(y1,y2,…,yn)\beta=(y_1,y_2,\ldots,y_n)，记 M(α,β)=12∑i=1n(xi+yi−∣xi−yi∣)M(\alpha,\beta)=\frac12\sum_{i=1}^n\bigl(x_i+y_i-|x_i-y_i|\bigr).
(1) 当 n=3n=3 时，若 α=(1,1,0)\alpha=(1,1,0)，β=(0,1,1)\beta=(0,1,1)，求 M(α,α)M(\alpha,\alpha) 和 M(α,β)M(\alpha,\beta) 的值； (2) 当 n=4n=4 时，设 BB 是 AA 的子集，且满足：对于 BB 中的任意元素 α\alpha，β\beta，当 α\alpha，β\beta 相同时，M(α,β)M(\alpha,\beta) 是奇数；当 α\alpha，β\beta 不同时，M(α,β)M(\alpha,\beta) 是偶数. 求集合 BB 中元素个数的最大值； (3) 给定不小于 22 的 nn，设 BB 是 AA 的子集，且满足：对于 BB 中的任意两个不同的元素 α\alpha，β\beta，M(α,β)=0M(\alpha,\beta)=0. 写出一个集合 BB，使其元素个数最多，并说明理由.

2018 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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