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01三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=∣sin⁡x+cos⁡x∣f(x) = |\sin x + \cos x| 的最小正周期是（ ）
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
π\pi
D.
2π2\pi

2005 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，PP，QQ，RR 分别是 ABAB，ADAD，B1C1B_{1}C_{1} 的中点. 那么，正方体的过 PP，QQ，RR 的截面图形是（ ）
A.
三角形
B.
四边形
C.
五边形
D.
六边形

2005 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=x2−1y = x^{2} - 1（x⩽0x \leqslant 0）的反函数是（ ）
A.
y=x+1y = \sqrt{x + 1}（x⩾−1x \geqslant -1）
B.
y=−x+1y = -\sqrt{x + 1}（x⩾−1x \geqslant -1）
C.
y=x+1y = \sqrt{x + 1}（x⩾0x \geqslant 0）
D.
y=−x+1y = -\sqrt{x + 1}（x⩾0x \geqslant 0）

2005 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★★☆☆
已知函数 y=tan⁡ωxy = \tan \omega x 在 (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) 内是减函数，则（ ）
A.
0<ω⩽10 < \omega \leqslant 1
B.
−1⩽ω<0-1 \leqslant \omega < 0
C.
ω⩾1\omega \geqslant 1
D.
ω⩽−1\omega \leqslant -1

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05解析几何★★☆☆☆
抛物线 x2=4yx^{2} = 4y 上一点 AA 的纵坐标为 44，则点 AA 与抛物线焦点的距离为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

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06解析几何★☆☆☆☆
双曲线 x24−y29=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 的渐近线方程是（ ）
A.
y=±23xy = \pm \frac{2}{3} x
B.
y=±49xy = \pm \frac{4}{9} x
C.
y=±32xy = \pm \frac{3}{2} x
D.
3\sqrt{3}

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07数列★☆☆☆☆
如果数列 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，则（ ）
A.
a1+a8<a4+a5a_1 + a_8 < a_4 + a_5
B.
a1+a8=a4+a5a_1 + a_8 = a_4 + a_5
C.
a1+a8>a4+a5a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}
D.
a1a8=a4a5a_{1}a_{8} = a_{4}a_{5}

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−2y)10(x - \sqrt{2} y)^{10} 的展开式中 x6y4x^{6}y^{4} 项的系数是（ ）
A.
840840
B.
−840-840
C.
210210
D.
−210-210

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09平面向量★★★☆☆
已知点 A(3,1)A(\sqrt{3}, 1)，B(0,0)B(0, 0)，C(3,0)C(\sqrt{3}, 0). 设 ∠BAC\angle BAC 的平分线 AEAE 与 BCBC 相交于 EE，那么有 BC→=λCE→\overrightarrow{BC} = \lambda \overrightarrow{CE}，其中 λ\lambda 等于（ ）
A.
22
B.
12\frac{1}{2}
C.
−3-3
D.
−13-\frac{1}{3}

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10集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 M={x∣x2−3x−28⩽0}M = \{x \mid x^2 - 3x - 28 \leqslant 0\}，N={x∣x2−x−6>0}N = \{x \mid x^2 - x - 6 > 0\}，则 M∩NM \cap N 为（ ）
A.
{x∣−4⩽x<−2 或 3<x⩽7}\left\{x\mid -4\leqslant x < -2\text{\ 或\ }3 < x\leqslant 7\right\}
B.
{x∣−4<x⩽−2 或 3⩽x<7}\left\{x\mid -4 < x\leqslant -2\text{\ 或\ }3\leqslant x < 7\right\}
C.
{x∣x⩽−2 或 x>3}\left\{x\mid x\leqslant -2\text{\ 或\ }x > 3\right\}
D.
{x∣x<−2 或 x⩾3}\left\{x\mid x < -2\text{\ 或\ }x\geqslant 3\right\}

2005 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11平面向量★★☆☆☆
点 PP 在平面上作匀速直线运动. 速度向量 v=(4,−3)\boldsymbol{v} = (4, -3)（即点 PP 的运动方向与 v\boldsymbol{v} 相同，且每秒移动的距离为 ∣v∣ 个单位|\boldsymbol{v}|\text{ 个单位}）. 设开始时点 PP 的坐标为 (−10,10)(-10, 10)，则 5 秒5\text{ 秒} 后点 PP 的坐标为（ ）
A.
(−2,4)(-2, 4)
B.
(−30,25)(-30, 25)
C.
(10,−5)(10, -5)
D.
(5,−10)(5, -10)

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12立体几何初步★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的顶点 BB 在平面 α\alpha 内，AA，CC 在 α\alpha 的同一侧，ABAB，BCBC 与 α\alpha 所成的角分别是 30∘30^{\circ} 和 45∘45^{\circ}. 若 AB=3AB = 3，BC=42BC = 4\sqrt{2}，AC=5AC = 5，则 ACAC 与 α\alpha 所成的角为（ ）
A.
60∘60^{\circ}
B.
45∘45^{\circ}
C.
30∘30^{\circ}
D.
15∘15^{\circ}

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13数列★★☆☆☆
在 83\frac{8}{3} 和 272\frac{27}{2} 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______.

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14解析几何★★☆☆☆
圆心为 (1,2)(1,2) 且与直线 5x−12y−7=05x - 12y - 7 = 0 相切的圆的方程为______.

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
在由数字 00，11，22，33，44，55 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 55 整除的数共有______ 个\text{ 个}.

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16立体几何初步★★★★☆
下面是关于三棱锥的四个命题：
① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥； ④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
其中，真命题的编号是______. （写出所有真命题的编号）

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17三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha 为第二象限的角，sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5}，β\beta 为第一象限的角，cos⁡β=513\cos \beta = \frac{5}{13}. 求 tan⁡(2α−β)\tan (2\alpha - \beta) 的值.

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.60.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响. 求：
(1) 前三局比赛甲队领先的概率； (2) 本场比赛乙队以 3:23:2 取胜的概率. （精确到 0.0010.001）

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19数列★★★☆☆
已知 {an}\left\{a_{n}\right\} 是各项均为正数的等差数列，lg⁡a1\lg a_{1}，lg⁡a2\lg a_{2}，lg⁡a4\lg a_{4} 成等差数列. 又 bn=1a2nb_{n} = \frac{1}{a_{2^{n}}}，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots.
(1) 证明 {bn}\left\{b_{n}\right\} 为等比数列； (2) 如果数列 {bn}\{b_n\} 前 33 项的和等于 724\frac{7}{24}，求数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1a_1 和公差 dd.

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20立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，PD⊥PD \perp 底面 ABCDABCD，AD=PDAD = PD，EE，FF 分别为 CDCD，PBPB 的中点.
(1) 求证：EF⊥EF \perp 平面 PABPAB； (2) 设 AB=2BCAB = \sqrt{2}BC，求 ACAC 与平面 AEFAEF 所成的角的大小.

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21导数及其应用★★★☆☆
设 aa 为实数，函数 f(x)=x3−x2−x+af(x) = x^3 - x^2 - x + a.
(1) 求 f(x)f(x) 的极值； (2) 当 aa 在什么范围内取值时，曲线 y=f(x)y = f(x) 与 xx 轴仅有一个交点.

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22解析几何★★★★★
PP，QQ，MM，NN 四点都在椭圆 x2+y22=1x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1 上，FF 为椭圆在 yy 轴正半轴上的焦点，已知 PF→\overrightarrow{PF} 与 FQ→\overrightarrow{FQ} 共线，MF→\overrightarrow{MF} 与 FN→\overrightarrow{FN} 共线，且 PF→⋅MF→=0\overrightarrow{PF} \cdot \overrightarrow{MF} = 0. 求四边形 PMQNPMQN 的面积的最小值和最大值.

2005 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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