已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等差数列，$\lg a_{1}$，$\lg a_{2}$，$\lg a_{4}$ 成等差数列. 又 $b_{n} = \frac{1}{a_{2^{n}}}$，$n = 1$，$2$，$3$，$\cdots$.

(1) 证明 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列； (2) 如果数列 $\{b_n\}$ 前 $3$ 项的和等于 $\frac{7}{24}$，求数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1$ 和公差 $d$.