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01解析几何★★☆☆☆
极坐标方程 ρ=cos⁡(π4−θ)\rho = \cos \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) 所表示的曲线是（ ）
A.
双曲线
B.
椭圆
C.
抛物线
D.
圆

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
如果方程 x2+ky2=2x^2 + ky^2 = 2 表示焦点在 yy 轴上的椭圆，那么实数 kk 的取值范围是（ ）
A.
(0,+∞)(0, +\infty)
B.
(0,2)(0, 2)
C.
(1,+∞)(1, +\infty)
D.
(0,1)(0, 1)

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
lim⁡n→∞Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn1+2+22+⋯+2n=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\mathrm C_n^0 + \mathrm C_n^1 + \mathrm C_n^2 + \cdots + \mathrm C_n^n}{1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n} =（ ）
A.
00
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★★☆☆
设 θ\theta 是第二象限的角，则必有（ ）
A.
tan⁡θ2>cot⁡θ2\tan \frac{\theta}{2} > \cot \frac{\theta}{2}
B.
tan⁡θ2<cot⁡θ2\tan \frac{\theta}{2} < \cot \frac{\theta}{2}
C.
sin⁡θ2>cos⁡θ2\sin \frac{\theta}{2} > \cos \frac{\theta}{2}
D.
sin⁡θ2<cos⁡θ2\sin \frac{\theta}{2} < \cos \frac{\theta}{2}

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★☆☆☆☆
若直线 x+ay+2=0x + ay + 2 = 0 和 2x+3y+1=02x + 3y + 1 = 0 互相垂直，则 a=a =（ ）
A.
−23-\frac{2}{3}
B.
−32-\frac{3}{2}
C.
23\frac{2}{3}
D.
32\frac{3}{2}

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★☆☆☆☆
某种细菌在培养过程中，每 2020 分钟分裂一次（一个分裂为两个）. 经过 33 小时，这种细菌由 11 个可繁殖成（ ）
A.
511511 个
B.
512512 个
C.
10231023 个
D.
10241024 个

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
在下列函数中，以 π2\frac{\pi}{2} 为周期的函数是（ ）
A.
y=sin⁡2x+cos⁡4xy = \sin 2x + \cos 4x
B.
y=sin⁡2xcos⁡4xy = \sin 2x \cos 4x
C.
y=sin⁡2x+cos⁡2xy = \sin 2x + \cos 2x
D.
y=sin⁡2xcos⁡2xy = \sin 2x \cos 2x

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
已知正六棱台的上、下底面边长分别为 22 和 44，高为 22，则其体积为（ ）
A.
32332\sqrt{3}
B.
28328\sqrt{3}
C.
24324\sqrt{3}
D.
20320\sqrt{3}

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★★☆☆☆
使 (6−2i)n\left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\mathrm{i}\right)^n 是纯虚数的最小自然数 n=n =（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
有甲、乙、丙三项任务，甲需 22 人承担，乙、丙各需 11 人承担. 从 1010 人中选派 44 人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）
A.
12601260 种
B.
20252025 种
C.
25202520 种
D.
50405040 种

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★☆☆☆
对于直线 mm，nn 和平面 α\alpha，β\beta，α⊥β\alpha \perp \beta 的一个充分条件是（ ）
A.
m⊥nm \perp n，m∥αm \parallel \alpha，n∥βn \parallel \beta
B.
m⊥nm \perp n，α∩β=m\alpha \cap \beta = m，n⊂αn \subset \alpha
C.
m∥nm \parallel n，n⊥βn \perp \beta，m⊂αm \subset \alpha
D.
m∥nm \parallel n，m⊥αm \perp \alpha，n⊥βn \perp \beta

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=1−1−x2f(x) = 1 - \sqrt{1 - x^2}（−1⩽x⩽0-1 \leqslant x \leqslant 0），则函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★★☆☆
已知过球面上 AA，BB，CC 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2AB = BC = CA = 2，则球面面积是（ ）
A.
169π\frac{16}{9}\pi
B.
83π\frac{8}{3}\pi
C.
4π4\pi
D.
649π\frac{64}{9}\pi

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=arccos⁡(sin⁡x)y = \arccos \left(\sin x\right)（−π3<x<2π3-\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}）的值域是（ ）
A.
(π6,5π6)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)
B.
[0,5π6)\left[0, \frac{5\pi}{6}\right)
C.
(π3,2π3)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right)
D.
[π6,2π3)\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right)

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
定义在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 上的任意函数 f(x)f(x) 都可以表示成一个奇函数 g(x)g(x) 和一个偶函数 h(x)h(x) 之和. 如果 f(x)=lg⁡(10x+1)f(x) = \lg \left(10^x + 1\right)，x∈(−∞,+∞)x \in (-\infty, +\infty)，那么（ ）
A.
g(x)=xg(x) = x，h(x)=lg⁡(10x+10−x+2)h(x) = \lg \left(10^x + 10^{-x} + 2\right)
B.
g(x)=12[lg⁡(10x+1)+x]g(x) = \frac{1}{2}\left[\lg \left(10^x + 1\right) + x\right]，h(x)=12[lg⁡(10x+1)−x]h(x) = \frac{1}{2}\left[\lg \left(10^x + 1\right) - x\right]
C.
g(x)=x2g(x) = \frac{x}{2}，h(x)=lg⁡(10x+1)−x2h(x) = \lg \left(10^x + 1\right) - \frac{x}{2}
D.
g(x)=−x2g(x) = -\frac{x}{2}，h(x)=lg⁡(10x+1)+x2h(x) = \lg \left(10^x + 1\right) + \frac{x}{2}

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★☆☆☆
抛物线 y2=8−4xy^2 = 8 - 4x 的准线方程是______.

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★☆☆
在 (x+m)7(x + m)^7（m∈Nm \in \mathbf{N}）的展开式中，x5x^5 的系数是 x6x^6 的系数与 x4x^4 的系数的等差中项，则 m=‾m =\underline{\hspace{2em}}.

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★☆☆☆
若 54π<θ<32π\frac{5}{4}\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi，sin⁡2θ=a\sin 2\theta = a，则 cos⁡θ−sin⁡θ\cos \theta - \sin \theta 的值是______.

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★★☆
设圆锥底面圆周上两点 AA，BB 间的距离为 22，圆锥顶点到直线 ABAB 的距离为 3\sqrt{3}，ABAB 和圆锥的轴的距离为 11，则该圆锥的体积为______.

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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20函数与初等函数★★★☆☆
在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 nn 次测量分别得到 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，共 nn 个数据. 我们规定所测量物理量的“最佳近似值”aa 是这样一个量：与其他近似值比较，aa 与各数据的差的平方和最小. 依此规定，从 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n 推出的 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 20 题 · 填空题

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21复数★★★☆☆
已知 z=1+iz = 1 + \mathrm{i}.
(1) 设 ω=z2+3z‾−4\omega = z^2 + 3\overline{z} - 4，求 ω\omega 的三角形式； (2) 如果 z2+az+bz2−z+1=1−i\frac{z^2 + az + b}{z^2 - z + 1} = 1 - \mathrm{i}，求实数 aa，bb 的值.

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x，x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). 若 x1x_1，x2∈(0,π2)x_2 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，且 x1≠x2x_1 \neq x_2，证明 12[f(x1)+f(x2)]>f(x1+x22)\frac{1}{2}\left[f(x_1) + f(x_2)\right] > f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right).

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★★☆
如图，已知 A1B1C1−ABCA_{1}B_{1}C_{1} - ABC 是正三棱柱，DD 是 ACAC 中点.
(1) 证明 AB1∥AB_1 \parallel 平面 DBC1DBC_1； (2) 假设 AB1⊥BC1AB_1 \perp BC_1，求以 BC1BC_1 为棱，DBC1DBC_1 与 CBC1CBC_1 为面的二面角 α\alpha 的度数.

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24解析几何★★★★☆
已知直角坐标平面上一点 Q(2,0)Q(2, 0) 和圆 CC：x2+y2=1x^2 + y^2 = 1，动点 MM 到圆 CC 的切线长等于圆 CC 的半径与 ∣MQ∣|MQ| 的和. 求动点 MM 的轨迹方程，说明它表示什么曲线，并画出草图.

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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25数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是正数组成的数列，其前 nn 项和为 SnS_n，并且对于所有的自然数 nn，ana_n 与 22 的等差中项等于 SnS_n 与 22 的等比中项.
(1) 写出数列 {an}\{a_n\} 的前 33 项； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式（写出推证过程）.

1994 · 全国 · 旧科目组 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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