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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U=RU = \mathbf{R}，集合 P={x∣x2⩽1}P = \{x \mid x^2 \leqslant 1\}，那么 ∁UP=\complement_U P =（ ）
A.
(−∞,−1](-\infty, -1]
B.
[1,+∞)[1, +\infty)
C.
(−1,1)(-1, 1)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

2011 · 北京 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 i−21+2i=\frac{\mathrm{i} - 2}{1 + 2\mathrm{i}} =（ ）
A.
i\mathrm{i}
B.
−i-\mathrm{i}
C.
−45−35i-\frac{4}{5} - \frac{3}{5}\mathrm{i}
D.
−45+35i-\frac{4}{5} + \frac{3}{5}\mathrm{i}

2011 · 北京 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
如果 log⁡12x<log⁡12y<0\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} y < 0，那么（ ）
A.
y<x<1y < x < 1
B.
x<y<1x < y < 1
C.
1<x<y1 < x < y
D.
1<y<x1 < y < x

2011 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若 pp 是真命题，qq 是假命题，则（ ）
A.
p∧qp \wedge q 是真命题
B.
p∨qp \vee q 是假命题
C.
¬p\neg p 是真命题
D.
¬q\neg q 是真命题

2011 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）
A.
3232
B.
16+16216 + 16\sqrt{2}
C.
4848
D.
16+32216 + 32\sqrt{2}

2011 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入 AA 的值为 2，则输出的 PP 的值为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2011 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元800\text{ 元}. 若每批生产 xx 件，则平均仓储时间为 x8 天\frac{x}{8}\text{ 天}，且每件产品每天的仓储费用为 1 元1\text{ 元}. 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A.
60 件60\text{ 件}
B.
80 件80\text{ 件}
C.
100 件100\text{ 件}
D.
120 件120\text{ 件}

2011 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
已知点 A(0,2)A(0,2)，B(2,0)B(2,0). 若点 CC 在函数 y=x2y = x^2 的图象上，则使得 △ABC\triangle ABC 的面积为 2 的点 CC 的个数为（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2011 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 b=5b = 5，∠B=π4\angle B = \frac{\pi}{4}，sin⁡A=13\sin A = \frac{1}{3}，则 a=a =______.

2011 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★☆☆☆☆
已知双曲线 x2−y2b2=1x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1（b>0b>0）的一条渐近线的方程为 y=2xy = 2x，则 b=b=______.

2011 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(3,1)\boldsymbol{a} = (\sqrt{3}, 1)，b=(0,−1)\boldsymbol{b} = (0, -1)，c=(k,3)\boldsymbol{c} = (k, \sqrt{3}). 若 a−2b\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} 与 c\boldsymbol{c} 共线，则 k=k =______.

2011 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\left\{a_{n}\right\} 中，a1=12a_{1}=\frac{1}{2}，a4=−4a_{4}=-4，则公比 q=q=______；a1+a2+⋯+an=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=______.

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={2x,x⩾2,(x−1)3,x<2,f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{x}, & x \geqslant 2,\\ (x - 1)^3, & x < 2, \end{cases}
若关于 xx 的方程 f(x)=kf(x) = k 有两个不同的实根，则实数 kk 的取值范围是______.

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14计数原理与组合数学★★★★☆
设 A(0,0)A(0,0)，B(4,0)B(4,0)，C(t+4,3)C(t + 4,3)，D(t,3)D(t,3)（t∈Rt \in \mathbf{R}）. 记 N(t)N(t) 为平行四边形 ABCDABCD 内部（不含边界）的整点的个数. 其中整点是指横，纵坐标都是整数的点，则 N(0)=N(0) =______；N(t)N(t) 的所有可能取值为______.

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=4cos⁡xsin⁡(x+π6)−1f(x) = 4\cos x\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [−π6,π4]\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值和最小值.

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16概率与统计★★☆☆☆
以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 XX 表示.
甲组乙组
111\quad 1100
(1) 如果 X=8X = 8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2) 如果 X=9X = 9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率.
（注：方差 s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+…+(xn−x‾)2]s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2\right]，其中 x‾\overline{x} 为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n 的平均数）

2011 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四面体 PABCPABC 中，PC⊥ABPC \perp AB，PA⊥BCPA \perp BC，点 DD，EE，FF，GG 分别是棱 APAP，ACAC，BCBC，PBPB 的中点.
(1) 求证：DE∥DE \parallel 平面 BCPBCP； (2) 求证：四边形 DEFGDEFG 为矩形； (3) 是否存在点 QQ，到四面体 PABCPABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.

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18导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=(x−k)exf(x) = (x - k)\mathrm{e}^x.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最小值.

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 G:x2a2+y2b2=1G: \frac{x^2}{a^{2}} + \frac{y^2}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 63\frac{\sqrt{6}}{3}，右焦点为 (22,0)(2\sqrt{2}, 0)，斜率为 1 的直线 ll 与椭圆 GG 交于 AA，BB 两点. 以 ABAB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(−3,2)P(-3, 2).
(1) 求椭圆 GG 的方程； (2) 求 △PAB\triangle PAB 的面积.

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20数列★★★★★
若数列 AnA_{n}：a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，ana_{n}（n⩾2n \geqslant 2）满足 ∣ak+1−ak∣=1\left|a_{k+1} - a_{k}\right| = 1（k=1k = 1，22，⋯\cdots，n−1n-1），则称 AnA_{n} 为 EE 数列. 记 S(An)=a1+a2+⋯+anS(A_{n}) = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}.
(1) 写出一个 EE 数列 AnA_{n} 满足 a1=a3=0a_{1}=a_{3}=0； (2) 若 a1=12a_1 = 12，n=2000n = 2000，证明：EE 数列 AnA_n 是递增数列的充要条件是 an=2011a_n = 2011； (3) 在 a1=4a_1 = 4 的 EE 数列 AnA_n 中，求使得 S(An)=0S(A_n) = 0 成立的 nn 的最小值.

2011 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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