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01复数★☆☆☆☆
计算： 3−i1+i=\frac{3 - \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} =______.（i\mathrm{i} 为虚数单位）

2012 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={x∣2x−1>0}A = \{x \mid 2x - 1 > 0\}，B={x∣∣x∣<1}B = \{x \mid |x| < 1\}，则 A∩B=A \cap B =______.

2012 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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03三角函数★★☆☆☆
函数
f(x)=∣sin⁡x2−1cos⁡x∣f(x) = \left| \begin{matrix} \sin x & 2 \\ -1 & \cos x \end{matrix} \right|
的最小正周期是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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04解析几何★☆☆☆☆
若 d=(2,1)\boldsymbol{d} = (2,1) 是直线 ll 的一个方向向量，则 ll 的倾斜角的大小为______. （结果用反三角函数值表示）

2012 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

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05立体几何初步★☆☆☆☆
一个高为 22 的圆柱，底面周长为 2π2\pi. 该圆柱的表面积为______.

2012 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 4x−2x+1−3=04^{x} - 2^{x + 1} - 3 = 0 的解是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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07数列★★☆☆☆
有一列正方体，棱长组成以 11 为首项，12\frac{1}{2} 为公比的等比数列，体积分别记为 V1V_{1}，V2V_{2}，⋯\cdots，VnV_{n}，⋯\cdots，则 lim⁡n→∞(V1+V2+⋯+Vn)=\displaystyle\lim_{n \to \infty} (V_{1} + V_{2} + \cdots + V_{n}) =______.

2012 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−1x)6\left(x - \frac{1}{x}\right)^{6} 的二项展开式中，常数项等于______.

2012 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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09函数与初等函数★☆☆☆☆
已知 y=f(x)y = f(x) 是奇函数，若 g(x)=f(x)+2g(x) = f(x) + 2 且 g(1)=1g(1) = 1，则 g(−1)=g(-1) =______.

2012 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
满足约束条件 ∣x∣+2∣y∣⩽2|x| + 2|y| \leqslant 2 的目标函数 z=y−xz = y - x 的最小值是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11概率与统计★★☆☆☆
三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是______. （结果用最简分数表示）

2012 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
在矩形 ABCDABCD 中，边 ABAB、ADAD 的长分别为 22、11. 若 MM、NN 分别是 BCBC、CDCD 上的点，且满足 ∣BM∣∣BC∣=∣CN∣∣CD∣\frac{|BM|}{|BC|} = \frac{|CN|}{|CD|}，则 AM→⋅AN→\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} 的取值范围是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的图象是折线段 ABCABC，其中 A(0,0)A(0,0)，B(12,1)B\left(\frac{1}{2}, 1\right)，C(1,0)C(1,0). 函数 y=xf(x)y = xf(x) （0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1） 的图象与 xx 轴围成的图形的面积为______.

2012 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
已知 f(x)=11+xf(x) = \frac{1}{1 + x}，各项均为正数的数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_{1} = 1，an+2=f(an)a_{n + 2} = f(a_n). 若 a2010=a2012a_{2010} = a_{2012}，则 a20+a11a_{20} + a_{11} 的值是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15复数★★☆☆☆
若 1+2i1 + \sqrt{2}\mathrm{i} 是关于 xx 的实系数方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）
A.
b=2,c=3b = 2, c = 3
B.
b=2b = 2，c=−1c = -1
C.
b=−2b = -2，c=−1c = -1
D.
b=−2b = -2，c=3c = 3

2012 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
对于常数 mm，nn，“mn>0mn > 0”是“方程 mx2+ny2=1mx^{2} + ny^{2} = 1 表示的曲线是椭圆”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2012 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 sin⁡2A+sin⁡2B<sin⁡2C\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C，则 △ABC\triangle ABC 的形状是（ ）
A.
钝角三角形
B.
直角三角形
C.
锐角三角形
D.
不能确定

2012 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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18三角函数★★★★☆
若 Sn=sin⁡π7+sin⁡2π7+⋯+sin⁡nπ7S_{n} = \sin \frac{\pi}{7} + \sin \frac{2\pi}{7} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{7} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），则在 S1S_{1}，S2S_{2}，⋯\cdots，S100S_{100} 中，正数的个数是（ ）
A.
16
B.
72
C.
86
D.
100

2012 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCABC，DD 是 PCPC 的中点. 已知 ∠BAC=π2\angle BAC = \frac{\pi}{2}，AB=2AB = 2，AC=23AC = 2\sqrt{3}，PA=2PA = 2. 求：
(1) 三棱锥 P−ABCP - ABC 的体积； (2) 异面直线 BCBC 与 ADAD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

2012 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x) = \lg (x + 1).
(1) 若 0<f(1−2x)−f(x)<10 < f(1 - 2x) - f(x) < 1，求 xx 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 是以 22 为周期的偶函数，且当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，有 g(x)=f(x)g(x) = f(x)，求函数 y=g(x)y = g(x) （x∈[1,2]x \in [1,2]） 的反函数.

2012 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 yy 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里1\text{ 海里} 为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里12\text{ 海里} AA 处，如图. 现假设：
① 失事船的移动路径可视为抛物线 y=1249x2y = \frac{12}{49} x^{2}； ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； ③ 救援船出发 tt 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t7t.
(1) 当 t=0.5t = 0.5 时，写出失事船所在位置 PP 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

2012 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知双曲线 C:2x2−y2=1C: 2x^{2} - y^{2} = 1.
(1) 设 FF 是 CC 的左焦点，点 MM 是 CC 右支上一点. 若 ∣MF∣=22|MF| = 2\sqrt{2}，求点 MM 的坐标； (2) 过 CC 的左顶点作 CC 的两条渐近线的平行线. 求这两组平行线围成的平行四边形的面积； (3) 设斜率为 kk （∣k∣<2|k| < \sqrt{2}） 的直线 ll 交 CC 于 PP，QQ 两点. 若 ll 与圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 相切，求证：OP⊥OQOP \perp OQ.

2012 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
对于项数为 mm 的有穷数列 {an}\{a_{n}\}，记 bk=max⁡{a1,a2,⋯ ,ak}b_{k} = \max \{a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{k}\} （k=1k = 1，22，⋯\cdots，mm），即 bkb_{k} 为 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aka_{k} 中的最大值，并称数列 {bk}\{b_{k}\} 是 {an}\{a_{n}\} 的控制数列. 如 11，33，22，55，55 的控制数列是 11，33，33，55，55.
(1) 若各项均为正整数的数列 {an}\{a_{n}\} 的控制数列为 22，33，44，55，55，写出所有的 {an}\{a_{n}\}； (2) 设 {bn}\{b_{n}\} 是 {an}\{a_{n}\} 的控制数列，满足 ak+bm−k+1=Ca_{k} + b_{m - k + 1} = C （CC 为常数，k=1k = 1，22，⋯\cdots，mm）. 求证：bk=akb_{k} = a_{k} （k=1k = 1，22，⋯\cdots，mm）； (3) 设 m=100m = 100，常数 a∈(12,1)a \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)，若 an=an2−(−1)n(n+1)2na_{n} = a n^{2} - (-1)^{\frac{n(n + 1)}{2}} n，{bn}\{b_{n}\} 是 {an}\{a_{n}\} 的控制数列，求 (b1−a1)+(b2−a2)+⋯+(b100−a100)(b_{1} - a_{1}) + (b_{2} - a_{2}) + \cdots + (b_{100} - a_{100}).

2012 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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