若 $\boldsymbol{d} = (2,1)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量，则 $l$ 的倾斜角的大小为______. （结果用反三角函数值表示）

对于常数 $m$，$n$，“$mn > 0$”是“方程 $mx^{2} + ny^{2} = 1$ 表示的曲线是椭圆”的（ ）

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系（以 $1\text{ 海里}$ 为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 $12\text{ 海里}$ $A$ 处，如图. 现假设：

① 失事船的移动路径可视为抛物线 $y = \frac{12}{49} x^{2}$； ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； ③ 救援船出发 $t$ 小时后，失事船所在位置的横坐标为 $7t$.

(1) 当 $t = 0.5$ 时，写出失事船所在位置 $P$ 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知双曲线 $C: 2x^{2} - y^{2} = 1$.

(1) 设 $F$ 是 $C$ 的左焦点，点 $M$ 是 $C$ 右支上一点. 若 $|MF| = 2\sqrt{2}$，求点 $M$ 的坐标； (2) 过 $C$ 的左顶点作 $C$ 的两条渐近线的平行线. 求这两组平行线围成的平行四边形的面积； (3) 设斜率为 $k$ （$|k| < \sqrt{2}$） 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点. 若 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求证：$OP \perp OQ$.