有一列正方体，棱长组成以 $1$ 为首项，$\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列，体积分别记为 $V_{1}$，$V_{2}$，$\cdots$，$V_{n}$，$\cdots$，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (V_{1} + V_{2} + \cdots + V_{n}) =$______.

已知 $f(x) = \frac{1}{1 + x}$，各项均为正数的数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{1} = 1$，$a_{n + 2} = f(a_n)$. 若 $a_{2010} = a_{2012}$，则 $a_{20} + a_{11}$ 的值是______.

对于项数为 $m$ 的有穷数列 $\{a_{n}\}$，记 $b_{k} = \max \{a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{k}\}$ （$k = 1$，$2$，$\cdots$，$m$），即 $b_{k}$ 为 $a_{1}$，$a_{2}$，$\cdots$，$a_{k}$ 中的最大值，并称数列 $\{b_{k}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的控制数列. 如 $1$，$3$，$2$，$5$，$5$ 的控制数列是 $1$，$3$，$3$，$5$，$5$.

(1) 若各项均为正整数的数列 $\{a_{n}\}$ 的控制数列为 $2$，$3$，$4$，$5$，$5$，写出所有的 $\{a_{n}\}$； (2) 设 $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的控制数列，满足 $a_{k} + b_{m - k + 1} = C$ （$C$ 为常数，$k = 1$，$2$，$\cdots$，$m$）. 求证：$b_{k} = a_{k}$ （$k = 1$，$2$，$\cdots$，$m$）； (3) 设 $m = 100$，常数 $a \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$，若 $a_{n} = a n^{2} - (-1)^{\frac{n(n + 1)}{2}} n$，$\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的控制数列，求 $(b_{1} - a_{1}) + (b_{2} - a_{2}) + \cdots + (b_{100} - a_{100})$.