在矩形 $ABCD$ 中，边 $AB$、$AD$ 的长分别为 $2$、$1$. 若 $M$、$N$ 分别是 $BC$、$CD$ 上的点，且满足 $\frac{|BM|}{|BC|} = \frac{|CN|}{|CD|}$，则 $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN}$ 的取值范围是______.