已知函数 $f(x) = ax^3 + x^2 + bx$（其中常数 $a$，$b \in \mathbf{R}$），$g(x) = f(x) + f'(x)$ 是奇函数.

(1) 求 $f(x)$ 的表达式； (2) 讨论 $g(x)$ 的单调性，并求 $g(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上的最大值和最小值.