下列函数中，周期为 $\pi$，且在 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上为减函数的是（ ）

如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 $C$，各段弧所在的圆经过同一点 $P$（点 $P$ 不在 $C$ 上）且半径相等. 设第 $i$ 段弧所对的圆心角 $\alpha_i$（$i = 1$，$2$，$3$），则 $\cos \frac{\alpha_1}{3} \cos \frac{\alpha_2 + \alpha_3}{3} - \sin \frac{\alpha_1}{3} \sin \frac{\alpha_2 + \alpha_3}{3} =$______.

设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边长分别为 $a$，$b$，$c$，且 $3b^{2} + 3c^{2} - 3a^{2} = 4\sqrt{2}bc$.

(1) 求 $\sin A$ 的值； (2) 求 $\frac{2\sin\left(A + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(B + C + \frac{\pi}{4}\right)}{1 - \cos 2A}$ 的值.