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03导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→1x2−12x2−x−1=\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1} =（ ）
A.
00
B.
11
C.
12\frac{1}{2}
D.
23\frac{2}{3}

2007 · 四川 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
已知一组抛物线 y=12ax2+bx+1y = \frac{1}{2}ax^2 + bx + 1，其中 aa 为 22，44，66，88 中任取的一个数，bb 为 11，33，55，77 中任取的一个数. 从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1x = 1 交点处的切线相互平行的概率是（ ）
A.
112\frac{1}{12}
B.
760\frac{7}{60}
C.
625\frac{6}{25}
D.
525\frac{5}{25}

2007 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4，设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (xn,f(xn))(x_n, f(x_n)) 处的切线与 xx 轴的交点为 (xn+1,0)(x_{n+1}, 0)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），其中 x1x_1 为正实数.
(1) 用 xnx_n 表示 xn+1x_{n+1}； (2) 求证：对一切正整数 nn，xn+1⩽xnx_{n+1} \leqslant x_n 的充要条件是 x1⩾2x_1 \geqslant 2； (3) 若 x1=4x_1 = 4，记 an=lg⁡xn+2xn−2a_n = \lg \frac{x_n + 2}{x_n - 2}，证明数列 {an}\{a_n\} 成等比数列，并求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式.

2007 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★★
设函数 f(x)=(1+1n)xf(x) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^x（n∈Nn \in \mathbf{N}，且 n>1n > 1，x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 当 x=6x = 6 时，求 (1+1n)x\left(1 + \frac{1}{n}\right)^x 的展开式中二项式系数最大的项； (2) 对任意的实数 xx，证明 f(2x)+f(2)2>f′(x)\frac{f(2x) + f(2)}{2} > f'(x)（f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数）； (3) 是否存在 a∈Na \in \mathbf{N}，使得 an<∑k=1n(1+1k)k<(a+1)nan < \sum_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k < (a + 1)n 恒成立？若存在，试证明你的结论并求出 aa 的值；若不存在，请说明理由.

2007 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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