设 $A(a,1)$，$B(2,b)$，$C(4,5)$ 为坐标平面上三点，$O$ 为坐标原点. 若 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 在 $\overrightarrow{OC}$ 上的投影相同，则 $a$ 与 $b$ 满足的关系式为（ ）

如图，$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$ 是同一平面内的三条平行直线，$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离是 $1$，$l_{2}$ 与 $l_{3}$ 间的距离是 $2$，正三角形 $ABC$ 的三顶点分别在 $l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$ 上，则 $\triangle ABC$ 的边长是（ ）