若 $\mathrm{i}$ 是虚数单位，计算：$\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3}\mathrm{i})^5}{16\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{6}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}\right)}=$______.

(1) 设 $z$ 是虚数，$w=z+\frac{1}{z}$ 是实数，且 $-1<w<2$. 求 $\left|z\right|$ 的值及 $z$ 的实部的取值范围； (2) 设 $u=\frac{1-z}{1+z}$. 求证：$u$ 为纯虚数； (3) 求 $w-u^{2}$ 的最小值.