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01集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 M={x∣x(x−1)3⩾0}M = \left\{x \mid \dfrac{x}{(x - 1)^3} \geqslant 0\right\}，N={y∣y=3x2+1,x∈R}N = \{y \mid y = 3x^2 + 1, x \in \mathbf{R}\}，则 M∩NM \cap N 等于（ ）
A.
∅\varnothing
B.
{x∣x⩾1}\{x\mid x\geqslant 1\}
C.
{x∣x>1}\{x\mid x>1\}
D.
{x∣x⩾1 或 x<0}\{x\mid x\geqslant 1 \text{\ 或\ } x<0\}

2006 · 江西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知复数 zz 满足 (3+3i)z=3i(\sqrt{3} + 3\mathrm{i})z = 3\mathrm{i}，则 zz 等于（ ）
A.
32−32i\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
B.
34−34i\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}
C.
32+32i\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
D.
34+34i\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{i}

2006 · 江西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
若 a>0a > 0，b>0b > 0，则不等式 −b<1x<a-b < \frac{1}{x} < a 等价于（ ）
A.
−1b<x<0 或 0<x<1a-\frac{1}{b} < x < 0 \text{\ 或\ } 0 < x < \frac{1}{a}
B.
−1a<x<1b-\frac{1}{a} < x < \frac{1}{b}
C.
x<−1ax < -\frac{1}{a} 或 x>1bx > \frac{1}{b}
D.
x<−1bx < -\frac{1}{b} 或 x>1ax > \frac{1}{a}

2006 · 江西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
设 OO 为坐标原点，FF 为抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的焦点，AA 为抛物线上的一点，若 OA→⋅AF→=−4\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AF} = -4，则点 AA 的坐标为（ ）
A.
(2,±22)(2,\pm 2\sqrt{2})
B.
(1,±2)(1,\pm 2)
C.
(1,2)(1,2)
D.
(2,22)(2,2\sqrt{2})

2006 · 江西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05导数及其应用★★★☆☆
对于 R\mathbf{R} 上可导的任意函数 f(x)f(x)，若满足 (x−1)f′(x)⩾0(x - 1)f'(x) \geqslant 0，则必有（ ）
A.
f(0)+f(2)<2f(1)f(0) + f(2) < 2f(1)
B.
f(0)+f(2)⩽2f(1)f(0) + f(2)\leqslant 2f(1)
C.
f(0)+f(2)⩾2f(1)f(0) + f(2)\geqslant 2f(1)
D.
f(0)+f(2)>2f(1)f(0) + f(2) > 2f(1)

2006 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
若不等式 x2+ax+1⩾0x^{2} + ax + 1 \geqslant 0 对一切 x∈(0,12]x \in \left(0, \frac{1}{2}\right] 成立，则 aa 的最小值为（ ）
A.
0
B.
−2-2
C.
−52-\frac{5}{2}
D.
−3-3

2006 · 江西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 若 OB→=a1OA→+a200OC→\overrightarrow{OB} = a_{1}\overrightarrow{OA} + a_{200}\overrightarrow{OC}，且 AA，BB，CC 三点共线（该直线不过点 OO），则 S200S_{200} 等于（ ）
A.
100
B.
101
C.
200
D.
201

2006 · 江西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
在 (x−2)2006(x - \sqrt{2})^{2006} 的二项展开式中，含 xx 的奇次幂的项之和为 SS，当 x=2x = \sqrt{2} 时，SS 等于（ ）
A.
230082^{3008}
B.
−23008-2^{3008}
C.
230092^{3009}
D.
−23009-2^{3009}

2006 · 江西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
PP 为双曲线 x29−y216=1\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 的右支上一点，MM，NN 分别是圆 (x+5)2+y2=4(x + 5)^2 + y^2 = 4 和 (x−5)2+y2=1(x - 5)^2 + y^2 = 1 上的点，则 ∣PM∣−∣PN∣|PM| - |PN| 的最大值为（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2006 · 江西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
将 7 个人（含甲，乙）分成三个组，一组 3 人，另两组各 2 人，不同的分组数为 aa，甲，乙分在同一组的概率为 pp，则 aa，pp 的值分别为（ ）
A.
a=105,p=521a = 105, p = \frac{5}{21}
B.
a=105a = 105，p=421p = \frac{4}{21}
C.
a=210a = 210，p=521p = \frac{5}{21}
D.
a=210a = 210，p=421p = \frac{4}{21}

2006 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★★☆
如图，在四面体 ABCDABCD 中，截面 AEFAEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 OO，且与 BCBC，DCDC 分别截于 EE，FF. 如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥 A−BEFDA-BEFD 与三棱锥 A−EFCA-EFC 的表面积分别为 S1S_1 和 S2S_2，则必有（ ）
A.
S1<S2S_{1} < S_{2}
B.
S1>S2S_{1} > S_{2}
C.
S1=S2S_{1} = S_{2}
D.
S1S_{1} 和 S2S_{2} 的大小不能确定

2006 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
某地一年内的气温 Q(t)Q(t)（单位：∘C^{\circ} \mathrm{C}）与时间 tt（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为 10∘C10^{\circ} \mathrm{C}. 令 C(t)C(t) 表示时间段 [0,t][0, t] 的平均气温，C(t)C(t) 与 tt 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.

2006 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13数列★★☆☆☆
数列 {14n2−1}\left\{\frac{1}{4n^{2}-1}\right\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_{n} =______.

2006 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 f(x)=log⁡3(x+6)f(x)=\log_{3}(x+6) 的反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，若 [f−1(m)+6]⋅[f−1(n)+6]=27[f^{-1}(m)+6]\cdot[f^{-1}(n)+6]=27，则 f(m+n)=f(m+n)=______.

2006 · 江西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，底面为直角三角形，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，AC=6AC = 6，BC=CC1=2BC = CC_{1} = \sqrt{2}，PP 是 BC1BC_{1} 上一动点，则 CP+PA1CP + PA_{1} 的最小值为______.

2006 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知圆 M:(x+cos⁡θ)2+(y−sin⁡θ)2=1M: (x + \cos \theta)^2 + (y - \sin \theta)^2 = 1，直线 l:y=kxl: y = kx，下面四个命题：
① 对任意实数 kk 和 θ\theta，直线 ll 和圆 MM 相切； ② 对任意实数 kk 和 θ\theta，直线 ll 和圆 MM 有公共点； ③ 对任意实数 θ\theta，必存在实数 kk，使得直线 ll 和圆 MM 相切； ④ 对任意实数 kk，必存在实数 θ\theta，使得直线 ll 和圆 MM 相切.
其中真命题的代号是______（写出所有真命题的代号）.

2006 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x=−23x = -\frac{2}{3} 与 x=1x = 1 时都取得极值.
(1) 求 aa，bb 的值与函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对 x∈[−1,2]x \in [-1, 2]，不等式 f(x)<c2f(x) < c^2 恒成立，求 cc 的取值范围.

2006 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某商场举行抽奖促销互动，抽奖规则是：从装有 9 个白球，1 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回. 摸出一个红球可获得奖金 10 元；摸出两个红球可获得奖金 50 元. 现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次. 令 ξ\xi 表示甲，乙两人摸球后获得的奖金总额. 求：
(1) ξ\xi 的分布列； (2) ξ\xi 的数学期望.

2006 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
如图，已知 △ABC\triangle ABC 是边长为 1 的正三角形，MM，NN 分别是边 ABAB，ACAC 上的点，线段 MNMN 经过 △ABC\triangle ABC 的中心 GG. 设 ∠MGA=α\angle MGA = \alpha（π3⩽α⩽2π3\frac{\pi}{3} \leqslant \alpha \leqslant \frac{2\pi}{3}）.
(1) 试将 △AGM\triangle AGM 和 △AGN\triangle AGN 的面积（分别记为 S1S_1 与 S2S_2）表示为 α\alpha 的函数； (2) 求 y=1S12+1S22y = \frac{1}{S_1^2} + \frac{1}{S_2^2} 的最大值与最小值.

2006 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 A−BCDA - BCD 中，侧面 ABDABD，ACDACD 是全等的直角三角形，ADAD 是公共的斜边，且 AD=3AD = \sqrt{3}，BD=CD=1BD = CD = 1，另一个侧面 ABCABC 是正三角形.
(1) 求证：AD⊥BCAD \perp BC； (2) 求二面角 B−AC−DB - AC - D 的大小； (3) 在直线 ACAC 上是否存在一点 EE，使 EDED 与面 BCDBCD 成 30∘30^{\circ} 角？若存在，确定 EE 的位置；若不存在，说明理由.

2006 · 江西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，椭圆 Q:x2a2+y2b2=1Q: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的右焦点为 F(c,0)F(c, 0)，过点 FF 的一动直线 mm 绕点 FF 转动，并且交椭圆于 AA，BB 两点，PP 为线段 ABAB 的中点.
(1) 求点 PP 的轨迹 HH 的方程； (2) 在 QQ 的方程中，令 a2=1+cos⁡θ+sin⁡θa^2 = 1 + \cos \theta + \sin \theta，b2=sin⁡θb^2 = \sin \theta（0<θ⩽π20 < \theta \leqslant \frac{\pi}{2}），确定 θ\theta 的值，使原点距椭圆的右准线 ll 最远，此时，设 ll 与 xx 轴交点为 DD，当直线 mm 绕点 FF 转动到什么位置时，三角形 ABDABD 的面积最大？

2006 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a1=32a_{1} = \frac{3}{2}，且 an=3nan−12an−1+n−1a_{n} = \frac{3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}（n⩾2n \geqslant 2，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：对一切正整数 nn，不等式 a1⋅a2⋅⋯⋅an<2⋅n!a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n < 2 \cdot n! 恒成立.

2006 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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