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07函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，且在区间 [0,+∞)[0, +\infty) 上单调递增. 若实数 aa 满足 f(log⁡2a)+f(log⁡12a)⩽2f(1)f(\log_{2} a) + f(\log_{\frac{1}{2}} a) \leqslant 2f(1)，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,2][1,2]
B.
(0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]
C.
[12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right]
D.
(0,2](0,2]

2013 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ex+x−2f(x) = \mathrm{e}^{x} + x - 2，g(x)=ln⁡x+x2−3g(x) = \ln x + x^2 - 3. 若实数 aa，bb 满足 f(a)=0f(a) = 0，g(b)=0g(b) = 0，则（ ）
A.
g(a)<0<f(b)g(a) < 0 < f(b)
B.
f(b)<0<g(a)f(b) < 0 < g(a)
C.
0<g(a)<f(b)0 < g(a) < f(b)
D.
f(b)<g(a)<0f(b) < g(a) < 0

2013 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，过点 FF 且与 xx 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 433\frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 AA，BB 分别为椭圆的左，右顶点，过点 FF 且斜率为 kk 的直线与椭圆交于 CC，DD 两点. 若 AC→⋅DB→+AD→⋅CB→=8\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = 8，求 kk 的值.

2013 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设 a∈[−2,0]a \in [-2,0]，已知函数
f(x)={x3−(a+5)x,x⩽0,x3−a+32x2+ax,x>0.f(x) = \begin{cases} x^3 - (a + 5)x, & x \leqslant 0,\\ x^3 - \frac{a + 3}{2}x^2 + ax, & x > 0. \end{cases}
(1) 证明： f(x)f(x) 在区间 (−1,1)(-1,1) 内单调递减，在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 内单调递增； (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 Pi(xi,f(xi))P_i(x_i, f(x_i)) （i=1i = 1，22，33） 处的切线相互平行，且 x1x2x3≠0x_{1}x_{2}x_{3} \neq 0，证明：x1+x2+x3>−13x_{1} + x_{2} + x_{3} > -\frac{1}{3}.

2013 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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