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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={x∣−3<x⩽5}M = \{x \mid -3 < x \leqslant 5\}，N={x∣−5<x<5}N = \{x \mid -5 < x < 5\}，则 M∩N=M \cap N =（ ）
A.
{x∣−5<x<5}\{x\mid -5 < x < 5\}
B.
{x∣−3<x<5}\{x\mid -3 < x < 5\}
C.
{x∣−5<x⩽5}\{x\mid -5 < x \leqslant 5\}
D.
{x∣−3<x⩽5}\{x\mid -3 < x \leqslant 5\}

2009 · 辽宁 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知复数 z=1−2iz = 1 - 2\mathrm{i}，那么 1z‾=\frac{1}{\overline{z}} =（ ）
A.
55+255i\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{2\sqrt{5}}{5}\mathrm{i}
B.
55−255i\frac{\sqrt{5}}{5} -\frac{2\sqrt{5}}{5}\mathrm{i}
C.
15+25i\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\mathrm{i}
D.
15−25i\frac{1}{5} -\frac{2}{5}\mathrm{i}

2009 · 辽宁 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
平面向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，a=(2,0)\boldsymbol{a} = (2,0)，∣b∣=1|\boldsymbol{b}| = 1，则 ∣a+2b∣=|\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}| =（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
232\sqrt{3}
C.
44
D.
1212

2009 · 辽宁 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
已知圆 CC 与直线 x−y=0x - y = 0 及 x−y−4=0x - y - 4 = 0 都相切，圆心在直线 x+y=0x + y = 0 上，则圆 CC 的方程为（ ）
A.
(x+1)2+(y−1)2=2(x + 1)^2 +(y - 1)^2 = 2
B.
(x−1)2+(y+1)2=2(x - 1)^2 +(y + 1)^2 = 2
C.
(x−1)2+(y−1)2=2(x - 1)^2 +(y - 1)^2 = 2
D.
(x+1)2+(y+1)2=2(x + 1)^2 +(y + 1)^2 = 2

2009 · 辽宁 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 55 名男医生，44 名女医生中选 33 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男，女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A.
7070 种
B.
8080 种
C.
100100 种
D.
140140 种

2009 · 辽宁 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
设等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 S6S3=3\frac{S_{6}}{S_{3}} = 3，则 S9S6=\frac{S_{9}}{S_{6}} =（ ）
A.
22
B.
73\frac{7}{3}
C.
83\frac{8}{3}
D.
33

2009 · 辽宁 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=xx−2y = \frac{x}{x - 2} 在点 (1,−1)(1,-1) 处的切线方程为（ ）
A.
y=x−2y = x - 2
B.
y=−3x+2y = -3x + 2
C.
y=2x−3y = 2x - 3
D.
y=−2x+1y = -2x + 1

2009 · 辽宁 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Acos⁡(ωx+φ)f(x) = A\cos (\omega x + \varphi) 的图象如图所示，f(π2)=−23f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{2}{3}，则 f(0)=f(0) =（ ）
A.
−23-\frac{2}{3}
B.
23\frac{2}{3}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2009 · 辽宁 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
已知偶函数 f(x)f(x) 在区间 [0,+∞)[0, +\infty) 单调增加，则满足 f(2x−1)<f(13)f(2x - 1) < f\left(\frac{1}{3}\right) 的 xx 取值范围是（ ）
A.
(13,23)\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)
B.
[13,23)\left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)
C.
(12,23)\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)
D.
[12,23)\left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)

2009 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
某店一个月的收入和支出总共记录了 NN 个数据 a1a_1，a2a_2，…\dots，aNa_N，其中收入记为正数，支出记为负数. 该店用下边的程序框图计算月总收入 SS 和月净盈利 VV，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）
A.
A>0A > 0，V=S−TV = S - T
B.
A<0A < 0，V=S−TV = S - T
C.
A>0A > 0，V=S+TV = S + T
D.
A<0A < 0，V=S+TV = S + T

2009 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
正六棱锥 P−ABCDEFP - ABCDEF 中，GG 为 PBPB 的中点，则三棱锥 D−GACD - GAC 与三棱锥 P−GACP - GAC 体积之比为（ ）
A.
1:11: 1
B.
1:21:2
C.
2:12: 1
D.
3:23:2

2009 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 x1x_{1} 满足 2x+2x=52x + 2^{x} = 5，x2x_{2} 满足 2x+2log⁡2(x−1)=52x + 2\log_{2}(x - 1) = 5，则 x1+x2=x_{1} + x_{2} =（ ）
A.
52\frac{5}{2}
B.
33
C.
72\frac{7}{2}
D.
44

2009 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13概率与统计★★☆☆☆
某企业有 33 个分厂生产同一种电子产品，第一，二，三分厂的产量之比为 1:2:11:2:1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 33 个分厂生产的电子产品中共取 100100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一，二，三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980 h980 \mathrm{~h}，1020 h1020 \mathrm{~h}，1032 h1032 \mathrm{~h}，则抽取的 100100 件产品的使用寿命的平均值为______h\mathrm{h}.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 6S5−5S3=56S_{5} - 5S_{3} = 5，则 a4=a_{4} =______.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m\mathrm{m}）. 则该几何体的体积为______m3\mathrm{m}^{3}.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
已知 FF 是双曲线 x24−y212=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1 的左焦点，A(1,4)A(1,4)，PP 是双曲线右支上的动点，则 ∣PF∣+∣PA∣|PF| + |PA| 的最小值为______.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
如图，AA，BB，CC，DD 都在同一个与水平面垂直的平面内，BB，DD 为两岛上的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面 AA 处测得 BB 点和 DD 点的仰角分别为 75∘75^{\circ}，30∘30^{\circ}，于水面 CC 处测得 BB 点和 DD 点的仰角均为 60∘60^{\circ}，AC=0.1 kmAC = 0.1 \mathrm{~km}. 试探究图中 BB，DD 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 BB，DD 的距离.（计算结果精确到 0.01 km0.01 \mathrm{~km}，2≈1.414\sqrt{2} \approx 1.414，6≈2.449\sqrt{6} \approx 2.449）

2009 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，已知两个正方形 ABCDABCD 和 DCEFDCEF 不在同一平面内，MM，NN 分别为 ABAB，DFDF 的中点.
(1) 若平面 ABCDABCD ⊥\perp 平面 DCEFDCEF，求直线 MNMN 与平面 DCEFDCEF 所成角的正弦值； (2) 用反证法证明：直线 MEME 与 BNBN 是两条异面直线.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某人向一目标射击 44 次，每次击中目标的概率为 13\frac{1}{3}. 该目标分为 33 个不同的部分，第一，二，三部分面积之比为 1:3:61:3:6. 击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.
(1) 设 XX 表示目标被击中的次数，求 XX 的分布列； (2) 若目标被击中 22 次，AA 表示事件“第一部分至少被击中 11 次或第二部分被击中 22 次”，求 P(A)P(A).

2009 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 过点 A(1,32)A\left(1, \frac{3}{2}\right)，两个焦点为 (−1,0)(-1,0)，(1,0)(1,0).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) EE，FF 是椭圆 CC 上的两个动点. 如果直线 AEAE 的斜率与 AFAF 的斜率互为相反数，证明直线 EFEF 的斜率为定值，并求出这个定值.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=12x2−ax+(a−1)ln⁡xf(x) = \frac{1}{2}x^2 - ax + (a - 1)\ln x，a>1a > 1.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：若 a<5a < 5，则对于任意 x1x_{1}，x2∈(0,+∞)x_{2} \in (0, +\infty)，x1≠x2x_{1} \neq x_{2}，有 f(x1)−f(x2)x1−x2>−1\dfrac{f(x_{1}) - f(x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > -1.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 中，AB=ACAB = AC，DD 是 △ABC\triangle ABC 外接圆劣弧 AC^\widehat{AC} 上的点（不与点 AA，CC 重合），延长 BDBD 至 EE.
(1) 求证：ADAD 的延长线平分 ∠CDE\angle CDE； (2) 若 ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^{\circ}，△ABC\triangle ABC 中 BCBC 边上的高为 2+32 + \sqrt{3}，求 △ABC\triangle ABC 外接圆的面积.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以 OO 为极点，xx 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρcos⁡(θ−π3)=1\rho \cos \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 1，MM，NN 分别为 CC 与 xx 轴，yy 轴的交点.
(1) 写出 CC 的直角坐标方程，并求 MM，NN 的极坐标； (2) 设 MNMN 的中点为 PP，求直线 OPOP 的极坐标方程.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=∣x−1∣+∣x−a∣f(x) = |x - 1| + |x - a|.
(1) 若 a=−1a = -1，解不等式 f(x)⩾3f(x) \geqslant 3； (2) 如果 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x)⩾2f(x) \geqslant 2，求 aa 的取值范围.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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