已知函数 $f(x) = A\cos (\omega x + \varphi)$ 的图象如图所示，$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{2}{3}$，则 $f(0) =$（ ）

如图，$A$，$B$，$C$，$D$ 都在同一个与水平面垂直的平面内，$B$，$D$ 为两岛上的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面 $A$ 处测得 $B$ 点和 $D$ 点的仰角分别为 $75^{\circ}$，$30^{\circ}$，于水面 $C$ 处测得 $B$ 点和 $D$ 点的仰角均为 $60^{\circ}$，$AC = 0.1 \mathrm{~km}$. 试探究图中 $B$，$D$ 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 $B$，$D$ 的距离.（计算结果精确到 $0.01 \mathrm{~km}$，$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{6} \approx 2.449$）

已知 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆劣弧 $\widehat{AC}$ 上的点（不与点 $A$，$C$ 重合），延长 $BD$ 至 $E$.

(1) 求证：$AD$ 的延长线平分 $\angle CDE$； (2) 若 $\angle BAC = 30^{\circ}$，$\triangle ABC$ 中 $BC$ 边上的高为 $2 + \sqrt{3}$，求 $\triangle ABC$ 外接圆的面积.