已知函数 $f(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)-2\cos^2\frac{\omega x}{2}$，$x\in\mathbf{R}$（其中 $\omega>0$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的值域； (2) 若函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=-1$ 的两个相邻交点间的距离为 $\frac{\pi}{2}$，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间.