设函数 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - \frac{a}{2} x^2 + bx + c$，其中 $a > 0$，曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y = 1$.

(1) 确定 $b$，$c$ 的值； (2) 设曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_1, f(x_1))$ 及 $(x_2, f(x_2))$ 处的切线都过点 $(0,2)$. 证明：当 $x_1 \neq x_2$ 时，$f'(x_1) \neq f'(x_2)$. (3) 若过点 $(0,2)$ 可作曲线 $y = f(x)$ 的三条不同切线，求 $a$ 的取值范围.