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02
数列
★☆☆☆☆
lim
n
→
∞
1
+
3
+
5
+
⋯
+
(
2
n
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
=
\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)}{n(2n + 1)} =
n
→
∞
lim
n
(
2
n
+
1
)
1
+
3
+
5
+
⋯
+
(
2
n
−
1
)
=
（ ）
A.
1
4
\frac{1}{4}
4
1
B.
1
2
\frac{1}{2}
2
1
C.
1
D.
2
2008 · 辽宁 · 理 · 第 2 题 · 选择题
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21
数列
★★★★☆
在数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
，
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
中，
a
1
=
2
a_1 = 2
a
1
=
2
，
b
1
=
4
b_1 = 4
b
1
=
4
，且
a
n
a_n
a
n
，
b
n
b_n
b
n
，
a
n
+
1
a_{n+1}
a
n
+
1
成等差数列，
b
n
b_n
b
n
，
a
n
+
1
a_{n+1}
a
n
+
1
，
b
n
+
1
b_{n+1}
b
n
+
1
成等比数列.
(1) 求
a
2
a_{2}
a
2
，
a
3
a_{3}
a
3
，
a
4
a_{4}
a
4
及
b
2
b_{2}
b
2
，
b
3
b_{3}
b
3
，
b
4
b_{4}
b
4
，由此猜测
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
，
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
的通项公式，并证明你的结论； (2) 证明：
1
a
1
+
b
1
+
1
a
2
+
b
2
+
⋯
+
1
a
n
+
b
n
<
5
12
\frac{1}{a_1 + b_1} + \frac{1}{a_2 + b_2} + \cdots + \frac{1}{a_n + b_n} < \frac{5}{12}
a
1
+
b
1
1
+
a
2
+
b
2
1
+
⋯
+
a
n
+
b
n
1
<
12
5
.
2008 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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