在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$，$F$ 分别为棱 $AA_{1}$，$CC_{1}$ 的中点，则在空间中与三条直线 $A_{1}D_{1}$，$EF$，$CD$ 都相交的直线（ ）

在体积为 $4\sqrt{3}\pi$ 的球的表面上有 $A$，$B$，$C$ 三点，$AB = 1$，$BC = \sqrt{2}$，$A$，$C$ 两点的球面距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$，则球心到平面 $ABC$ 的距离为______.

如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，$AP = BQ = b$（$0 < b < 1$），截面 $PQEF \parallel A'D$，截面 $PQGH \parallel AD'$.

(1) 证明：平面 $PQEF$ 和平面 $PQGH$ 互相垂直； (2) 证明：截面 $PQEF$ 和截面 $PQGH$ 面积之和是定值，并求出这个值； (3) 若 $D'E$ 与平面 $PQEF$ 所成的角为 $45^{\circ}$，求 $D'E$ 与平面 $PQGH$ 所成角的正弦值.