若函数 $f(x) = \log_a x$ （$0 < a < 1$）在区间 $[a, 2a]$ 上的最大值是最小的 $3$ 倍，则 $a =$（ ）

\begin{solution} 因为 $0<a<1$，函数 $f(x)=\log_a x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，所以在 $[a,2a]$ 上的最大值和最小值分别为 $f(a)=1$ 和 $f(2a)=\log_a2+1$. 由题意， $1=3\left(\log_a2+1\right)$，所以 $\log_a2=-\dfrac23$. 于是 $a^{-\frac23}=2$，即 $a^{\frac23}=\dfrac12$，从而 $a=\left(\dfrac12\right)^{\frac32}=\dfrac{\sqrt2}{4}$. 故选 A. \end{solution}

函数 $y = 3^{x^2 - 1}$（$-1 \leqslant x < 0$）的反函数是（ ）

\begin{solution} 由 $-1\leqslant x<0$，可知 $0<x^2\leqslant1$，所以 $-1<x^2-1\leqslant0$，从而函数值满足 $\dfrac13<y\leqslant1$. 由 $y=3^{x^2-1}$ 得 $\log_3y=x^2-1$，即 $x^2=1+\log_3y$. 原函数的定义域在负半轴上，故反函数应取负平方根： $y=-\sqrt{1+\log_3x}$，且 $\dfrac13<x\leqslant1$. 故选 D. \end{solution}