函数 $y = 3^{x^2 - 1}$（$-1 \leqslant x < 0$）的反函数是（ ）

\begin{solution} 由 $-1\leqslant x<0$，可知 $0<x^2\leqslant1$，所以 $-1<x^2-1\leqslant0$，从而函数值满足 $\dfrac13<y\leqslant1$. 由 $y=3^{x^2-1}$ 得 $\log_3y=x^2-1$，即 $x^2=1+\log_3y$. 原函数的定义域在负半轴上，故反函数应取负平方根： $y=-\sqrt{1+\log_3x}$，且 $\dfrac13<x\leqslant1$. 故选 D. \end{solution}

定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 既是偶函数又是周期函数，若 $f(x)$ 的最小正周期是 $\pi$，且当 $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x) = \sin x$，则 $f\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ 的值为（ ）

\begin{solution} 由周期为 $\pi$，得 $f\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$. 又因为 $f$ 是偶函数， $f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=f\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=f\left(\dfrac\pi3\right)$，其中最后一次等号利用了周期 $\pi$. 由于 $\dfrac\pi3\in\left[0,\dfrac\pi2\right]$，所以 $f\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=f\left(\dfrac\pi3\right)=\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}{2}$. 故选 D. \end{solution}