如图，定点 $A$ 和 $B$ 都在平面 $\alpha$ 内，定点 $P\notin \alpha$，$PB \perp \alpha$，$C$ 是 $\alpha$ 内异于 $A$ 和 $B$ 的动点，且 $PC \perp AC$. 那么，动点 $C$ 在平面 $\alpha$ 内的轨迹是（ ）

\begin{solution} 在平面 $\alpha$ 内取 $B$ 为原点，令 $\overrightarrow{BA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{c}$，并设 $PB=h>0$. 由于 $PB\perp\alpha$，向量 $\overrightarrow{CP}$ 的平面内分量为 $-\boldsymbol{c}$，而 $\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}$. 条件 $PC\perp AC$ 给出 $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CA}=(-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})=0$，即 $\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})=0$.

配方得 $\left|\boldsymbol{c}-\dfrac12\boldsymbol{a}\right|^2=\dfrac14\left|\boldsymbol{a}\right|^2$. 因此 $C$ 在以 $AB$ 为直径的圆上. 题设规定 $C$ 异于 $A$ 和 $B$，所以要从该圆上去掉这两个点，故选 B. \end{solution}

如图，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AB = 6$，$AD = 4$，$AA_{1} = 3$. 分别过 $BC$，$A_{1}D_{1}$ 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 $V_{1} = V_{AEA_{1}-DFD_{1}}$，$V_{2} = V_{EBE_{1}A_{1}-FCF_{1}D_{1}}$，$V_{3} = V_{B_{1}E_{1}B-C_{1}F_{1}C}$. 若 $V_{1}:V_{2}:V_{3} = 1:4:1$，则截面 $A_{1}EFD_{1}$ 的面积为（ ）

\begin{solution} 在正视图 $ABB_1A_1$ 中，设 $AE=x$. 两个截面平行，所以它们在正视图中的截线 $A_1E$ 与 $BE_1$ 平行；由两侧直角三角形的高都为 $AA_1=BB_1=3$，可得 $B_1E_1=AE=x$. 同理，在后视图中 $DF=x$，且 $C_1F_1=x$.

沿 $AD$ 方向观察，三个部分的截面面积分别为两个全等直角三角形和中间剩余部分： $S_1=\dfrac12\cdot3x=\dfrac{3x}{2}$， $S_3=\dfrac{3x}{2}$，$S_2=6\cdot3-S_1-S_3=18-3x$. 三部分沿同一方向延伸长度 $AD=4$，所以体积比等于截面面积比. 由题意 $\dfrac{3x}{2}:\left(18-3x\right):\dfrac{3x}{2}=1:4:1$，得 $18-3x=4\cdot\dfrac{3x}{2}=6x$，所以 $x=2$.

截面 $A_1EFD_1$ 是以 $AD=4$ 和 $A_1E$ 为两条互相垂直的边的矩形，且 $A_1E=\sqrt{AA_1^2+AE^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$. 因此其面积为 $4\sqrt{13}$，故选 C. \end{solution}

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，侧棱 $PD \perp$ 底面 $ABCD$，$PD = DC$，$E$ 是 $PC$ 的中点.

(1) 证明：$PA \parallel$ 平面 $EDB$； (2) 求 $EB$ 与底面 $ABCD$ 所成的角的正切值.