(1) 已知方程 $x^{2}-2x+q=0$ 两根的差的平方等于 $16$，求 $q$ 的值. (2) 计算 $\log_{\frac{3}{2}}\frac{9}{4}+\left(0.25\right)^{-\frac{3}{2}}+\log_{2}\sin135^{\circ}$. (3) 证明 $\sin\left(\alpha+\beta\right)<\sin\alpha+\sin\beta$（$\alpha$，$\beta$ 都是锐角）. (4) 说明函数 $y=x^{2}-4$ 的图像和函数 $y=x^{2}$ 的图像对于坐标轴的位置有什么区别. (5) 夹在两个平行平面间的两条线段，它们的长的和是 $28\text{ 寸}$，它们在同一个平面上的射影是 $9\text{ 寸}$ 和 $5\text{ 寸}$，求这两条线段的长.

(1) 解方程组 (2) 解方程 $\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^{x}+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^{x}=4$.

设 $\sin\alpha$ 为 $\sin\theta$ 与 $\cos\theta$ 的等差中项，$\sin\beta$ 为 $\sin\theta$ 与 $\cos\theta$ 的等比中项，求证：$2\cos2\alpha=\cos2\beta$.

已知三棱锥的底面积为 $S$，高为 $H$，过这个三棱锥的三个侧棱的中点作一截面，求过这个三棱锥的底面上任一点为顶点，以所作截面为底的新的三棱锥的体积.

在内接于圆的四边形 $ABCD$ 中，对应边 $AB$，$DC$ 的延长线交于 $P$，$AD$，$BC$ 的延长线交于 $Q$，求证：

(1) $PB\cdot CA=PC\cdot BD$. (2) 角 $P$ 及角 $Q$ 的平分线互相垂直.