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01复数★☆☆☆☆
复数 (3−i1+i)2=\left(\frac{3 - \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}}\right)^2 =（ ）
A.
−3−4i-3 - 4\mathrm{i}
B.
−3+4i-3 + 4\mathrm{i}
C.
3−4i3 - 4\mathrm{i}
D.
3+4i3 + 4\mathrm{i}

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=1+ln⁡(x−1)2y = \frac{1 + \ln(x - 1)}{2}（x>1x > 1）的反函数是（ ）
A.
y=e2x+1−1y = \mathrm{e}^{2x + 1} - 1（x>0x > 0）
B.
y=e2x−1+1y = \mathrm{e}^{2x - 1} + 1（x>0x > 0）
C.
y=e2x+1−1y = \mathrm{e}^{2x + 1} - 1（x∈Rx \in \mathbf{R}）
D.
y=e2x−1+1y = \mathrm{e}^{2x - 1} + 1（x∈Rx \in \mathbf{R}）

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x⩾−1,y⩾x,3x+2y⩽5,\begin{cases} x \geqslant -1,\\ y \geqslant x,\\ 3x + 2y \leqslant 5, \end{cases}
则 z=2x+yz = 2x + y 的最大值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
如果等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a3+a4+a5=12a_{3} + a_{4} + a_{5} = 12，那么 a1+a2+⋯+a7=a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7} =（ ）
A.
1414
B.
2121
C.
2828
D.
3535

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
不等式 x2−x−6x−1>0\frac{x^2 - x - 6}{x - 1} > 0 的解集为（ ）
A.
{x∣x<−2或x>3}\{x\mid x < -2 \text{或} x > 3\}
B.
{x∣x<−2或1<x<3}\{x\mid x < -2 \text{或} 1 < x < 3\}
C.
{x∣−2<x<1或x>3}\{x\mid -2 < x < 1 \text{或} x > 3\}
D.
{x∣−2<x<1或1<x<3}\{x\mid -2 < x < 1 \text{或} 1 < x < 3\}

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
将标号为 11，22，33，44，55，66 的 66 张卡片放入 33 个不同的信封中，若每个信封放 22 张，其中标号为 11，22 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（ ）
A.
12 种12\text{ 种}
B.
18 种18\text{ 种}
C.
36 种36\text{ 种}
D.
54 种54\text{ 种}

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
为了得到函数 y=sin⁡(2x−π3)y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) 的图象，只需把函数 y=sin⁡(2x+π6)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) 的图象（ ）
A.
向左平移 π4 个长度单位\frac{\pi}{4}\text{ 个长度单位}
B.
向右平移 π4 个长度单位\frac{\pi}{4}\text{ 个长度单位}
C.
向左平移 π2 个长度单位\frac{\pi}{2}\text{ 个长度单位}
D.
向右平移 π2 个长度单位\frac{\pi}{2}\text{ 个长度单位}

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，点 DD 在边 ABAB 上，CDCD 平分 ∠ACB\angle ACB. 若 CB→=a\overrightarrow{CB} = \boldsymbol{a}，CA→=b\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{b}，∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}| = 2，则 CD→=\overrightarrow{CD} =（ ）
A.
13a+23b\frac{1}{3} \boldsymbol{a} + \frac{2}{3} \boldsymbol{b}
B.
23a+13b\frac{2}{3} \boldsymbol{a} + \frac{1}{3} \boldsymbol{b}
C.
35a+45b\frac{3}{5} \boldsymbol{a} + \frac{4}{5} \boldsymbol{b}
D.
45a+35b\frac{4}{5} \boldsymbol{a} + \frac{3}{5} \boldsymbol{b}

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
已知正四棱锥 S−ABCDS - ABCD 中，SA=23SA = 2\sqrt{3}，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
A.
11
B.
3\sqrt{3}
C.
22
D.
33

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★☆☆☆
若曲线 y=x−12y = x^{-\frac{1}{2}} 在点 (a,a−12)\left(a, a^{-\frac{1}{2}}\right) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 1818，则 a=a =（ ）
A.
6464
B.
3232
C.
1616
D.
88

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★★☆
与正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的三条棱 ABAB，CC1CC_{1}，A1D1A_{1}D_{1} 所在直线的距离相等的点（ ）
A.
有且只有 1 个1\text{ 个}
B.
有且只有 2 个2\text{ 个}
C.
有且只有 3 个3\text{ 个}
D.
有无数个

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，过右焦点 FF 且斜率为 kk（k>0k > 0）的直线与 CC 相交于 AA，BB 两点. 若 AF→=3FB→\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{FB}，则 k=k =（ ）
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
22

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 是第二象限的角，tan⁡(π+2α)=−43\tan\left(\pi + 2\alpha\right) = -\frac{4}{3}，则 tan⁡α=\tan\alpha =______.

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x−ax)9\left(x - \frac{a}{x}\right)^9 的展开式中 x3x^3 的系数是−84-84，则 a=a =______.

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=2pxC: y^2 = 2px（p>0p > 0）的准线为 ll，过 M(1,0)M(1,0) 且斜率为 3\sqrt{3} 的直线与 ll 相交于点 AA，与 CC 的一个交点为 BB. 若 AM→=MB→\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}，则 p=‾p =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 4，圆 MM 与圆 NN 为该球的两个小圆，ABAB 为圆 MM 与圆 NN 的公共弦，AB=4AB = 4. 若 OM=ON=3OM = ON = 3，则两圆圆心的距离 MN=MN =______.

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，DD 为边 BCBC 上的一点，BD=33BD = 33，sin⁡B=513\sin B = \frac{5}{13}，cos⁡∠ADC=35\cos \angle ADC = \frac{3}{5}，求 ADAD.

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=(n2+n)⋅3nS_{n} = (n^{2} + n)\cdot 3^{n}.
(1) 求 lim⁡n→∞anSn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{S_{n}}； (2) 证明：a112+a222+⋯+ann2>3n\frac{a_{1}}{1^{2}} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \cdots + \frac{a_{n}}{n^{2}} > 3^{n}.

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AC=BCAC = BC，AA1=ABAA_{1} = AB，DD 为 BB1BB_{1} 的中点，EE 为 AB1AB_{1} 上的一点，AE=3EB1AE = 3EB_{1}.
(1) 证明：DEDE 为异面直线 AB1AB_{1} 与 CDCD 的公垂线. (2) 设异面直线 AB1AB_{1} 与 CDCD 的夹角为 45∘45^{\circ}，求二面角 A1−AC1−B1A_{1} - AC_{1} - B_{1} 的大小.

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
如图，由 MM 到 NN 的电路中有 44 个组件，分别标为 T1T_{1}，T2T_{2}，T3T_{3}，T4T_{4}，电流能通过 T1T_{1}，T2T_{2}，T3T_{3} 的概率都是 pp，电流能通过 T4T_{4} 的概率是 0.90.9. 电流能通过各组件相互独立. 已知 T1T_{1}，T2T_{2}，T3T_{3} 中至少有一个能通过电流的概率为 0.9990.999.
(1) 求 pp； (2) 求电流能在 MM 与 NN 之间通过的概率； (3) ξ\xi 表示 T1T_{1}，T2T_{2}，T3T_{3}，T4T_{4} 中能通过电流的组件个数，求 ξ\xi 的期望.

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知斜率为 11 的直线 ll 与双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）相交于 BB，DD 两点，且 BDBD 的中点为 M(1,3)M(1,3).
(1) 求 CC 的离心率； (2) 设 CC 的右顶点为 AA，右焦点为 FF，∣DF∣⋅∣BF∣=17|DF| \cdot |BF| = 17，证明：过 AA，BB，DD 三点的圆与 xx 轴相切.

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=1−e−xf(x) = 1 - \mathrm{e}^{-x}.
(1) 证明：当 x>−1x > -1 时，f(x)⩾xx+1f(x) \geqslant \frac{x}{x + 1}； (2) 设当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)⩽xax+1f(x) \leqslant \frac{x}{ax + 1}，求 aa 的取值范围.

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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