设双曲线的左准线与两条渐近线交于 $A$，$B$ 两点，左焦点在以 $AB$ 为直径的圆内，则该双曲线的离心率取值范围为（ ）

过原点的直线与圆 $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 4 = 0$ 相交所得弦的长为$2$，则该直线的方程为______.

如图，椭圆的中心为原点 $O$，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$，一条准线的方程是 $x = 2\sqrt{2}$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 设动点 $P$ 满足： $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + 2\overrightarrow{ON}$，其中 $M$，$N$ 是椭圆上的点，直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，问：是否存在定点 $F$，使得 $|PF|$ 与点 $P$ 到直线 $l: x = 2\sqrt{10}$ 的距离之比为定值？ 若存在，求 $F$ 的坐标；若不存在，说明理由.