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01复数★☆☆☆☆
复数 z=i(−2−i)z = \mathrm{i}(-2 - \mathrm{i})（i\mathrm{i} 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2013 · 江西 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
若集合 A={x∈R∣ax2+ax+1=0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid ax^2 + ax + 1 = 0\} 中只有一个元素，则 a=a =（ ）
A.
4
B.
2
C.
0
D.
0 或 4

2013 · 江西 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★☆☆☆☆
若 sin⁡α2=33\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}，则 cos⁡α=\cos \alpha =（ ）
A.
−23-\frac{2}{3}
B.
−13-\frac{1}{3}
C.
13\frac{1}{3}
D.
23\frac{2}{3}

2013 · 江西 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
集合 A={2,3}A = \{2, 3\}，B={1,2,3}B = \{1, 2, 3\}，从 AA，BB 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是（ ）
A.
23\frac{2}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
13\frac{1}{3}
D.
16\frac{1}{6}

2013 · 江西 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
总体由编号为 0101，0202，…，1919，2020 的 20 个个体组成. 利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法从随机数表第 11 行的第 55 列和第 66 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 55 个个体的编号为（ ）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.
08
B.
07
C.
02
D.
01

2013 · 江西 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
下列选项中，使不等式 x<1x<x2x < \frac{1}{x} < x^2 成立的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−1)(- \infty, -1)
B.
(−1,0)(-1,0)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(1,+∞)(1, +\infty)

2013 · 江西 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
阅读如图所示程序框图，如果输出 i=4i = 4，那么在空白的判断框中应填入的条件是（ ）
A.
S<8S < 8
B.
S<9S < 9
C.
S<10S < 10
D.
S<11S < 11

2013 · 江西 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（ ）
A.
200+9π200 + 9\pi
B.
200+18π200 + 18\pi
C.
140+9π140 + 9\pi
D.
140+18π140 + 18\pi

2013 · 江西 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
已知点 A(2,0)A(2,0)，抛物线 C:x2=4yC: x^2 = 4y 的焦点为 FF，射线 FAFA 与抛物线 CC 相交于点 MM，与其准线相交于点 NN，则 ∣FM∣:∣MN∣=|FM|: |MN| =（ ）
A.
2:52:\sqrt{5}
B.
1:21:2
C.
1:51 : \sqrt{5}
D.
1:31:3

2013 · 江西 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
如图，已知 l1⊥l2l_{1} \perp l_{2}，圆心在 l1l_{1} 上，半径为 1 m1 \mathrm{~m} 的圆 OO 在 t=0t = 0 时与 l2l_{2} 相切于点 AA，圆 OO 沿 l1l_{1} 以 1 m/s1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 的速度匀速向上移动，圆被直线 l2l_{2} 所截上方圆弧长记为 xx，令 y=cos⁡xy = \cos x，则 yy 与时间 tt（0⩽t⩽10 \leqslant t \leqslant 1，单位：s\mathrm{s}）的函数 y=f(t)y = f(t) 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11导数及其应用★★☆☆☆
若曲线 y=xα+1y = x^{\alpha} + 1（α∈R\alpha \in \mathbf{R}）在点 (1,2)(1,2) 处的切线经过坐标原点，则 α=\alpha =______.

2013 · 江西 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 nn（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）等于______.

2013 · 江西 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
设 f(x)=3sin⁡3x+cos⁡3xf(x) = \sqrt{3} \sin 3x + \cos 3x，若对任意实数 xx 都有 ∣f(x)∣⩽a|f(x)| \leqslant a，则实数 aa 的取值范围是______.

2013 · 江西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若圆 CC 经过坐标原点和点 (4,0)(4,0)，且与直线 y=1y = 1 相切，则圆 CC 的方程是______.

2013 · 江西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α\alpha 上，且 AB∥CDAB \parallel CD，则直线 EFEF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为______.

2013 · 江西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★☆☆
正项数列 {an}\{a_{n}\} 满足： an2−(2n−1)an−2n=0a_{n}^{2} - (2n - 1)a_{n} - 2n = 0.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 令 bn=1(n+1)anb_{n} = \frac{1}{(n + 1)a_{n}}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2013 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡Asin⁡B+sin⁡Bsin⁡C+cos⁡2B=1\sin A \sin B + \sin B \sin C + \cos 2B = 1.
(1) 求证： aa，bb，cc 成等差数列； (2) 若 C=2π3C = \frac{2\pi}{3}，求 ab\frac{a}{b} 的值.

2013 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
小波以游戏方式决定是去打球，唱歌还是去下棋，游戏规则为：以 OO 为起点，再从 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}（如图）这 66 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 XX，若 X>0X > 0 就去打球，若 X=0X = 0 就去唱歌，若 X<0X < 0 就去下棋.
(1) 写出数量积 XX 的所有可能取值； (2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

2013 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB∥CDAB \parallel CD，AD⊥ABAD \perp AB，AB=2AB = 2，AD=2AD = \sqrt{2}，AA1=3AA_{1} = 3，EE 为 CDCD 上一点，DE=1DE = 1，EC=3EC = 3.
(1) 证明： BE⊥BE \perp 平面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C； (2) 求点 B1B_{1} 到平面 EA1C1EA_{1}C_{1} 的距离.

2013 · 江西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
椭圆 CC：x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率 e=32e = \frac{\sqrt{3}}{2}，a+b=3a + b = 3.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 如图所示，AA，BB，DD 是椭圆 CC 的顶点，PP 是椭圆 CC 上除顶点外的任意一点，直线 DPDP 交 xx 轴于点 NN，直线 ADAD 交 BPBP 于点 MM，设 BPBP 的斜率为 kk，MNMN 的斜率为 mm，证明：2m−k2m-k 为定值.

2013 · 江西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设函数
f(x)={1ax,0⩽x⩽a,11−a(1−x),a<x⩽1,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{a} x, & 0 \leqslant x \leqslant a,\\ \frac{1}{1 - a} (1 - x), & a < x \leqslant 1, \end{cases}
aa 为常数且 a∈(0,1)a \in (0,1).
(1) 当 a=12a = \frac{1}{2} 时，求 f(f(13))f\left(f\left(\frac{1}{3}\right)\right)； (2) 若 x0x_0 满足 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0，但 f(x0)≠x0f(x_0) \neq x_0，则称 x0x_0 为 f(x)f(x) 的二阶周期点，证明：函数 f(x)f(x) 有且仅有两个二阶周期点，并求出二阶周期点 x1x_1，x2x_2； (3) 对于（2）中的 x1x_{1}，x2x_{2}，设 A(x1,f(f(x1)))A\left(x_{1}, f(f(x_{1}))\right)，B(x2,f(f(x2)))B\left(x_{2}, f(f(x_{2}))\right)，C(a2,0)C\left(a^{2}, 0\right)，记 △ABC\triangle ABC 的面积为 S(a)S(a)，求 S(a)S(a) 在区间 [13,12]\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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