如图，已知 $l_{1} \perp l_{2}$，圆心在 $l_{1}$ 上，半径为 $1 \mathrm{~m}$ 的圆 $O$ 在 $t = 0$ 时与 $l_{2}$ 相切于点 $A$，圆 $O$ 沿 $l_{1}$ 以 $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度匀速向上移动，圆被直线 $l_{2}$ 所截上方圆弧长记为 $x$，令 $y = \cos x$，则 $y$ 与时间 $t$（$0 \leqslant t \leqslant 1$，单位：$\mathrm{s}$）的函数 $y = f(t)$ 的图象大致为（ ）

若曲线 $y = x^{\alpha} + 1$（$\alpha \in \mathbf{R}$）在点 $(1,2)$ 处的切线经过坐标原点，则 $\alpha =$______.

设函数 $a$ 为常数且 $a \in (0,1)$.

(1) 当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f\left(f\left(\frac{1}{3}\right)\right)$； (2) 若 $x_0$ 满足 $f(f(x_0)) = x_0$，但 $f(x_0) \neq x_0$，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的二阶周期点，证明：函数 $f(x)$ 有且仅有两个二阶周期点，并求出二阶周期点 $x_1$，$x_2$； (3) 对于（2）中的 $x_{1}$，$x_{2}$，设 $A\left(x_{1}, f(f(x_{1}))\right)$，$B\left(x_{2}, f(f(x_{2}))\right)$，$C\left(a^{2}, 0\right)$，记 $\triangle ABC$ 的面积为 $S(a)$，求 $S(a)$ 在区间 $\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right]$ 上的最大值和最小值.