设椭圆 $\frac{x^2}{m^2} + \frac{y^2}{n^2} = 1$（$m > 0$，$n > 0$）的右焦点与抛物线 $y^2 = 8x$ 的焦点相同，离心率为 $\frac{1}{2}$，则此椭圆的方程为（ ）

已知圆 $C$ 的圆心与点 $P(-2,1)$ 关于直线 $y = x + 1$ 对称. 直线 $3x + 4y - 11 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且 $|AB| = 6$，则圆 $C$ 的方程为______.

已知中心在原点的双曲线 $C$ 的一个焦点是 $F_{1}(-3,0)$，一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x - 2y = 0$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 若以 $k$（$k \neq 0$）为斜率的直线 $l$ 与双曲线 C 相交于两个不同的点 $M$，$N$，线段 $MN$ 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$，求 $k$ 的取值范围.