若等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项和 $S_{5} = 25$，且 $a_{2} = 3$，则 $a_{7} =$（ ）

已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 1$，$a_{2} = 2$，且 $a_{n+1} = (1 + q)a_{n} - qa_{n-1}$（$n \geqslant 2$，$q \neq 0$）.

(1) 设 $b_{n} = a_{n+1} - a_{n}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），证明 $\{b_{n}\}$ 是等比数列； (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (3) 若 $a_{3}$ 是 $a_{6}$ 与 $a_{9}$ 的等差中项，求 $q$ 的值，并证明：对任意的 $n \in \mathbf{N}^{*}$，$a_{n}$ 是 $a_{n + 3}$ 与 $a_{n + 6}$ 的等差中项.