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01三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡2xcos⁡xf(x) = \dfrac{\sin 2x}{\cos x} 的最小正周期是（\quad）
A.
π2\dfrac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
4π4\pi

2002 · 苏豫粤桂 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
圆 (x−1)2+y2=1(x - 1)^2 + y^2 = 1 的圆心到直线 y=33xy = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x 的距离是（\quad）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
C.
11
D.
3\sqrt{3}

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03不等式★★☆☆☆
不等式 (1+x)(1−∣x∣)>0(1 + x)(1 - |x|) > 0 的解集是（\quad）
A.
{x∣0⩽x<1}\{x \mid 0 \leqslant x < 1\}
B.
{x∣x<0 且 x≠−1}\{x \mid x < 0 \text{ 且 } x \neq -1\}
C.
{x∣−1<x<1}\{x \mid -1 < x < 1\}
D.
{x∣x<1 且 x≠−1}\{x \mid x < 1 \text{ 且 } x \neq -1\}

2002 · 苏豫粤桂 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
在 (0,2π)(0,2\pi) 内，使 sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x 成立的 xx 的取值范围是（\quad）
A.
(π4,π2)∪(π,5π4)\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)\cup \left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right)
B.
(π4,π)\left(\dfrac{\pi}{4},\pi\right)
C.
(π4,5π4)\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right)
D.
(π4,π)∪(5π4,3π2)\left(\dfrac{\pi}{4},\pi\right) \cup \left(\dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{2}\right)

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 M={x∣x=k2+14,k∈Z}M = \left\{x \mid x = \dfrac{k}{2} + \dfrac{1}{4}, k \in \mathbf{Z}\right\}，N={x∣x=k4+12,k∈Z}N = \left\{x \mid x = \dfrac{k}{4} + \dfrac{1}{2}, k \in \mathbf{Z}\right\}，则（\quad）
A.
M=NM = N
B.
M⊆NM \subseteq N
C.
M⊇NM \supseteq N
D.
M∩N=∅M \cap N = \varnothing

2002 · 苏豫粤桂 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（\quad）
A.
34\dfrac{3}{4}
B.
45\dfrac{4}{5}
C.
35\dfrac{3}{5}
D.
−35-\dfrac{3}{5}

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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=x∣x+a∣+bf(x) = x|x + a| + b 是奇函数的充要条件是（\quad）
A.
ab=0ab = 0
B.
a+b=0a + b = 0
C.
a=ba = b
D.
a2+b2=0a^2 + b^2 = 0

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 0<x<y<a<10 < x < y < a < 1，则有（\quad）
A.
log⁡a(xy)<0\log_a(xy) < 0
B.
0<log⁡a(xy)<10 < \log_a(xy) < 1
C.
1<log⁡a(xy)<21 < \log_a(xy) < 2
D.
log⁡a(xy)>2\log_a(xy) > 2

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09函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=1−1x−1y = 1 - \dfrac{1}{x - 1}（\quad）
A.
在 (−1,+∞)(-1, +\infty) 内单调递增
B.
在 (−1,+∞)(-1, +\infty) 内单调递减
C.
在 (1,+∞)(1, +\infty) 内单调递增
D.
在 (1,+∞)(1, +\infty) 内单调递减

2002 · 苏豫粤桂 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
极坐标方程 ρ=cos⁡θ\rho = \cos \theta 与 ρcos⁡θ=12\rho \cos \theta = \dfrac{1}{2} 的图形是（\quad）
A.
B.
C.
D.

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
从正方体的 66 个面中选取 33 个面，其中有 22 个面不相邻的选法共有（\quad）
A.
88 种
B.
1212 种
C.
1616 种
D.
2020 种

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12函数与初等函数★★☆☆☆
据 2002年2002\text{年} 3月3\text{月} 5日5\text{日}九届人大五次会议《政府工作报告》： “2001年2001\text{年}国内生产总值达到 95933亿元95933\text{亿元}，比上年增长 7.3%7.3\%”，如果“十五”期间（2001年2001\text{年}－2005年2005\text{年}）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（\quad）
A.
115000115000 亿元
B.
120000120000 亿元
C.
127000127000 亿元
D.
135000135000 亿元

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13解析几何★★☆☆☆
椭圆 5x2+ky2=55x^{2} + ky^{2} = 5 的一个焦点是 (0,2)(0,2)，那么 k=k =______.

2002 · 苏豫粤桂 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+1)(x−2)7(x^{2} + 1)(x - 2)^{7} 展开式中 x3x^{3} 的系数是______.

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15三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α=cos⁡2α\sin \alpha = \cos 2\alpha，α∈(π2,π)\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)，则 tan⁡α=\tan \alpha =______.

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16函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)=x21+x2f(x) = \dfrac{x^{2}}{1 + x^{2}}，那么 f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=f(1) + f(2) + f\left(\dfrac{1}{2}\right) + f(3) + f\left(\dfrac{1}{3}\right) + f(4) + f\left(\dfrac{1}{4}\right) =______.

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17复数★★☆☆☆
已知复数 z=1+iz = 1 + \mathrm{i}，求实数 aa，bb 使 az+2bzˉ=(a+2z)2az + 2b\bar{z} = (a + 2z)^{2}.

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18数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 为等差数列，{bn}\{b_{n}\} 为等比数列，a1=b1=1a_{1} = b_{1} = 1，a2+a4=b3a_{2} + a_{4} = b_{3}，b2b4=a3b_{2}b_{4} = a_{3}，分别求出 {an}\{a_{n}\} 及 {bn}\{b_{n}\} 的前 1010 项的和 S10S_{10} 及 T10T_{10}.

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19立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面是边长为 aa 的正方形，PB⊥PB \perp 平面 ABCDABCD.
(1) 若面 PADPAD 与面 ABCDABCD 所成的二面角为 60∘60^{\circ}，求这个四棱锥的体积； (2) 证明无论四棱锥的高怎样变化，面 PADPAD 与面 PCDPCD 所成的二面角恒大于 90∘90^{\circ}.

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20解析几何★★★★☆
设 AA，BB 是双曲线 x2−y22=1x^{2} - \dfrac{y^{2}}{2} = 1 上的两点，点 N(1,2)N(1,2) 是线段 ABAB 的中点.
(1) 求直线 ABAB 的方程； (2) 如果线段 ABAB 的垂直平分线与双曲线相交于 CC，DD 两点，那么 AA，BB，CC，DD 四点是否共圆？ 为什么？

2002 · 苏豫粤桂 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★★★
(1) 给出两块相同的正三角形纸片（如图 1，图 2）. 要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1，图 2 中，并作简要说明； (2) 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； (3) 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等. 请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明.

2002 · 苏豫粤桂 · 第 21 题 · 解答题

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22不等式★★★★☆
已知 a>0a > 0，函数 f(x)=ax−bx2f(x) = ax - bx^{2}.
(1) 当 b>0b > 0 时，若对任意 x∈Rx \in \mathbf{R} 都有 f(x)⩽1f(x) \leqslant 1，证明：a⩽2ba \leqslant 2\sqrt{b}； (2) 当 b>1b > 1 时，证明：对任意 x∈[0,1]x \in [0,1]，∣f(x)∣⩽1|f(x)| \leqslant 1 的充要条件是 b−1⩽a⩽2bb - 1 \leqslant a \leqslant 2\sqrt{b}； (3) 当 0<b⩽10 < b \leqslant 1 时，讨论：对任意 x∈[0,1]x \in [0,1]，∣f(x)∣⩽1|f(x)| \leqslant 1 的充要条件.

2002 · 苏豫粤桂 · 第 22 题 · 解答题

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