不等式 $(1 + x)(1 - |x|) > 0$ 的解集是（$\quad$）

已知 $a > 0$，函数 $f(x) = ax - bx^{2}$.

(1) 当 $b > 0$ 时，若对任意 $x \in \mathbf{R}$ 都有 $f(x) \leqslant 1$，证明：$a \leqslant 2\sqrt{b}$； (2) 当 $b > 1$ 时，证明：对任意 $x \in [0,1]$，$|f(x)| \leqslant 1$ 的充要条件是 $b - 1 \leqslant a \leqslant 2\sqrt{b}$； (3) 当 $0 < b \leqslant 1$ 时，讨论：对任意 $x \in [0,1]$，$|f(x)| \leqslant 1$ 的充要条件.