一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（$\quad$）

四棱锥 $P - ABCD$ 的底面是边长为 $a$ 的正方形，$PB \perp$ 平面 $ABCD$.

(1) 若面 $PAD$ 与面 $ABCD$ 所成的二面角为 $60^{\circ}$，求这个四棱锥的体积； (2) 证明无论四棱锥的高怎样变化，面 $PAD$ 与面 $PCD$ 所成的二面角恒大于 $90^{\circ}$.

(1) 给出两块相同的正三角形纸片（如图 1，图 2）. 要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1，图 2 中，并作简要说明； (2) 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； (3) 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等. 请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明.