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01不等式★☆☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，则不等式 ∣x−3∣<1|x-3|<1 的解集为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
设 z=3+2iiz=\dfrac{3+2\mathrm{i}}{\mathrm{i}}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 Im⁡z=‾\operatorname{Im}z=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★☆☆☆☆
已知平行直线 l1:2x+y−1=0l_1:2x+y-1=0，l2:2x+y+1=0l_2:2x+y+1=0，则 l1l_1 与 l2l_2 的距离是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04概率与统计★☆☆☆☆
某次体检，66 位同学的身高（单位：米）分别为 1.721.72，1.781.78，1.751.75，1.801.80，1.691.69，1.771.77，则这组数据的中位数是______米\text{米}.

2016 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知点 (3,9)(3,9) 在函数 f(x)=1+axf(x)=1+a^x 的图像上，则 f(x)f(x) 的反函数 f−1(x)=‾f^{-1}(x)=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，底面 ABCDABCD 的边长为 33，BD1BD_1 与底面所成角的大小为 arctan⁡23\arctan\dfrac23，则该正四棱柱的高等于______.

2016 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07三角函数★★★☆☆
方程 3sin⁡x=1+cos⁡2x3\sin x=1+\cos2x 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上的解为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x3−2x)n\left(\sqrt[3]{x}-\dfrac2x\right)^n 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256256，则常数项等于______.

2016 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三边长分别为 33，55，77，则该三角形的外接圆半径等于______.

2016 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★★★☆☆
设 a>0a>0，b>0b>0，若关于 xx，yy 的方程组
{ax+y=1,x+by=1\begin{cases} ax+y=1,\\ x+by=1 \end{cases}
无解，则 a+ba+b 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★★★☆
无穷数列 {an}\{a_n\} 由 kk 个不同的数组成，SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn∈{2,3}S_n\in\{2,3\}，则 kk 的最大值为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
在平面直角坐标系中，已知 A(1,0)A(1,0)，B(0,−1)B(0,-1)，PP 是曲线 y=1−x2y=\sqrt{1-x^2} 上一个动点，则 BP→⋅BA→\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BA} 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，c∈[0,2π)c\in[0,2\pi)，若对任意实数 xx 都有 2sin⁡ ⁣(3x−π3)=asin⁡(bx+c)2\sin\!\left(3x-\dfrac{\pi}{3}\right)=a\sin(bx+c)，则满足条件的有序实数组 (a,b,c)(a,b,c) 的组数为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，OO 为正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的中心，A1(1,0)A_1(1,0)，任取不同的两点 AiA_i，AjA_j，点 PP 满足 OP→+OAi→+OAj→=\bs0\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}=\bs0，则点 PP 落在第一象限的概率是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，则“a>1a>1”是“a2>1a^2>1”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分也非必要条件

2016 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★☆☆☆
下列极坐标方程中，对应的曲线为下图的是（ ）
A.
ρ=6+5cos⁡θ\rho=6+5\cos\theta
B.
ρ=6+5sin⁡θ\rho=6+5\sin\theta
C.
ρ=6−5cos⁡θ\rho=6-5\cos\theta
D.
ρ=6−5sin⁡θ\rho=6-5\sin\theta

2016 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
已知无穷等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_n，且 lim⁡n→∞Sn=S\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S，下列条件中，使得 2Sn<S2S_n<S（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）恒成立的是（ ）
A.
a1>0, 0.6<q<0.7a_1>0,\ 0.6<q<0.7
B.
a1<0a_1<0， −0.7<q<−0.6\ -0.7<q<-0.6
C.
a1>0a_1>0， 0.7<q<0.8\ 0.7<q<0.8
D.
a1<0a_1<0， −0.8<q<−0.7\ -0.8<q<-0.7

2016 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的三个函数. 对于命题：
① 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均为增函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 中至少有一个为增函数； ② 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均是以 TT 为周期的函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 均是以 TT 为周期的函数.
下列判断正确的是（ ）
A.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为真命题
B.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为假命题
C.
\circled1\circled{1} 为真命题，\circled2\circled{2} 为假命题
D.
\circled1\circled{1} 为假命题，\circled2\circled{2} 为真命题

2016 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
将边长为 11 的正方形 AA1O1OAA_1O_1O（及其内部）绕 OO1OO_1 旋转一周形成圆柱，如图，AC^\widehat{AC} 长为 2π3\dfrac{2\pi}{3}，A1B1^\widehat{A_1B_1} 长为 π3\dfrac{\pi}{3}，其中 B1B_1 与 CC 在平面 AA1O1OAA_1O_1O 的同侧.
(1) 求三棱锥 C−O1A1B1C-O_1A_1B_1 的体积； (2) 求异面直线 B1CB_1C 与 AA1AA_1 所成角的大小.

2016 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★☆☆
有一块正方形菜地 EFGHEFGH，EHEH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 FF 点或河边运走. 于是，菜地分为两个区域 S1S_1 和 S2S_2，其中 S1S_1 中的蔬菜运到河边较近，S2S_2 中的蔬菜运到 FF 点较近，而菜地内 S1S_1 和 S2S_2 的分界线 CC 上的点到河边与到 FF 点的距离相等. 现建立平面直角坐标系，其中原点 OO 为 EFEF 的中点，点 FF 的坐标为 (1,0)(1,0)，如图.
(1) 求菜地内的分界线 CC 的方程； (2) 菜农从蔬菜运量估计出 S1S_1 面积是 S2S_2 面积的两倍，由此得到 S1S_1 面积的“经验值”为 83\dfrac83. 设 MM 是 CC 上纵坐标为 11 的点，请计算以 EHEH 为一边，另有一边过点 MM 的矩形的面积，及五边形 EOMGHEOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于 S1S_1 面积的“经验值”.

2016 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
双曲线 x2−y2b2=1x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，直线 ll 过 F2F_2 且与双曲线交于 AA，BB 两点.
(1) 若 ll 的倾斜角为 π2\dfrac{\pi}{2}，△F1AB\triangle F_1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2) 设 b=3b=\sqrt3，若 ll 的斜率存在，且 (F1A→+F1B→)⋅AB→=0(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B})\cdot\overrightarrow{AB}=0，求 ll 的斜率.

2016 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=5a=5 时，解不等式 f(x)>0f(x)>0； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)−log⁡2[(a−4)x+2a−5]=0f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的取值范围； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值和最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足：只要 ap=aqa_p=a_q（pp，q∈N∗q\in\mathbf{N}^*），必有 ap+1=aq+1a_{p+1}=a_{q+1}，则称 {an}\{a_n\} 具有性质 PP.
(1) 若 {an}\{a_n\} 具有性质 PP，且 a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a4=3a_4=3，a5=2a_5=2，a6+a7+a8=21a_6+a_7+a_8=21，求 a3a_3； (2) 若无穷数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列，无穷数列 {cn}\{c_n\} 是公比为正数的等比数列，b1=c5=1b_1=c_5=1，b5=c1=81b_5=c_1=81，an=bn+cna_n=b_n+c_n，判断 {an}\{a_n\} 是否具有性质 PP，并说明理由； (3) 设 {bn}\{b_n\} 是无穷数列，已知 an+1=bn+sin⁡ana_{n+1}=b_n+\sin a_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：“对任意 a1a_1，{an}\{a_n\} 都具有性质 PP”的充要条件为“{bn}\{b_n\} 是常数列”.

2016 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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