无穷数列 $\{a_n\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 若对任意的 $n\in\mathbf{N}^*$，$S_n\in\{2,3\}$，则 $k$ 的最大值为______.

已知无穷等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S$，下列条件中，使得 $2S_n<S$（$n\in\mathbf{N}^*$）恒成立的是（ ）

若无穷数列 $\{a_n\}$ 满足：只要 $a_p=a_q$（$p$，$q\in\mathbf{N}^*$），必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\{a_n\}$ 具有性质 $P$.

(1) 若 $\{a_n\}$ 具有性质 $P$，且 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_4=3$，$a_5=2$，$a_6+a_7+a_8=21$，求 $a_3$； (2) 若无穷数列 $\{b_n\}$ 是等差数列，无穷数列 $\{c_n\}$ 是公比为正数的等比数列，$b_1=c_5=1$，$b_5=c_1=81$，$a_n=b_n+c_n$，判断 $\{a_n\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由； (3) 设 $\{b_n\}$ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_n+\sin a_n$（$n\in\mathbf{N}^*$），求证：“对任意 $a_1$，$\{a_n\}$ 都具有性质 $P$”的充要条件为“$\{b_n\}$ 是常数列”.