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01★☆☆☆☆
设函数 f(x)=log⁡9xf(x)=\log_{9}x，则满足 f(x)=12f(x)=\frac{1}{2} 的 xx 值为______.

2001 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02★☆☆☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=−7a_1=-7，且满足 an+1=an+2a_{n+1}=a_n+2（n∈Nn\in\mathbf{N}），则 a1+a2+⋯+a17=‾a_1+a_2+\cdots+a_{17}=\underline{\hspace{2em}}.

2001 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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03★☆☆☆☆
设 PP 为双曲线 x24−y2=1\frac{x^2}{4}-y^2=1 上一动点，OO 为坐标原点，MM 为线段 OPOP 的中点，则点 MM 的轨迹方程为______.

2001 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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04★☆☆☆☆
设集合 A={x∣2lg⁡x=lg⁡(8x−15),x∈R}A=\{x\mid 2\lg x=\lg(8x-15),x\in\mathbf{R}\}，B={x∣cos⁡x2>0,x∈R}B=\{x\mid \cos\frac{x}{2}>0,x\in\mathbf{R}\}，则 A∩BA\cap B 的元素个数为______个\text{个}.

2001 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

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05★☆☆☆☆
抛物线 x2−4y−3=0x^2-4y-3=0 的焦点坐标为______.

2001 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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06★☆☆☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 是公比 q>0q>0 的等比数列，SnS_n 是它的前 nn 项和. lim⁡n→∞Sn=7\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=7，则此数列的首项 a1a_1 的取值范围是______.

2001 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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07★☆☆☆☆
某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 22 荤 22 素共 44 种不同的品种. 现在餐厅准备了 55 种不同的荤菜，若要保证每位顾客有 200200 种以上不同的选择，则餐厅至少还需要准备不同的素菜品种______种\text{种}（结果用数值表示）.

2001 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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08★☆☆☆☆
在代数式 (x−1x2)5\left(x-\frac{1}{x^2}\right)^5 的展开式中，常数项为______.

2001 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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09★☆☆☆☆
设 x=sin⁡αx=\sin\alpha，α∈[−π6,5π6]\alpha\in\left[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]，则 arccos⁡x\arccos x 的取值范围为______.

2001 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10★☆☆☆☆
利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是______.
\begin{array}{c} \hline 自然状况 & 概率 & \multicolumn{4}{c|}{盈利（万元）} \\ \cline{3-6} & & $A_1$ & $A_2$ & $A_3$ & $A_4$ \\ \hline $S_1$ & $0.25$ & $50$ & $70$ & $-20$ & $98$ \\ \hline $S_2$ & $0.30$ & $65$ & $26$ & $52$ & $82$ \\ \hline $S_3$ & $0.45$ & $26$ & $16$ & $78$ & $-10$ \\ \hline \end{array}

2001 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11★☆☆☆☆
已知两个圆：
① x2+y2=1x^2+y^2=1； ② x2+(y−3)2=1x^2+(y-3)^2=1.
由前一个方程减去后一个方程可得上述两圆的对称轴方程. 将上述命题在曲线的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为______.

2001 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12★☆☆☆☆
据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一. 下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代，七八十年代，九十年代的变化情况. 由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下右图中图示为：______

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13★☆☆☆☆
a=3a=3 是直线 ax+2y+3a=0ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a−1)y=a−73x+(a-1)y=a-7 平行且不重合的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分也非必要条件

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14★☆☆☆☆
在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，MM 为 ACAC 与 BDBD 的交点，若 A1B1→=a\overrightarrow{A_1B_1}=\boldsymbol{a}，A1D1→=b\overrightarrow{A_1D_1}=\boldsymbol{b}，A1A→=c\overrightarrow{A_1A}=\boldsymbol{c}，则下列向量中与 B1M→\overrightarrow{B_1M} 相等的向量是（ ）
A.
−12a+12b+c-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}
B.
12a+12b+c\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}
C.
12a−12b+c\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}
D.
−12a−12b+c-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}

2001 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15★☆☆☆☆
已知 aa，bb 为两条不同的直线，α\alpha，β\beta 为两个不同的平面，且 a⊥αa\perp\alpha，b⊥βb\perp\beta，则下列命题中的假命题是（ ）
A.
若 a∥ba\parallel b，则 α∥β\alpha\parallel\beta
B.
若 α⊥β\alpha\perp\beta，则 a⊥ba\perp b
C.
若 aa，bb 相交，则 α\alpha，β\beta 相交
D.
若 α\alpha，β\beta 相交，则 aa，bb 相交

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16★☆☆☆☆
用计算器验算函数 y=lg⁡xxy=\frac{\lg x}{x}（x>1x>1）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）
A.
y=lg⁡xxy=\frac{\lg x}{x} 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上是单调减函数
B.
y=lg⁡xxy=\frac{\lg x}{x}，x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty) 的值域为 (0,lg⁡33]\left(0,\frac{\lg 3}{3}\right]
C.
y=lg⁡xxy=\frac{\lg x}{x}，x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty) 有最小值
D.
lim⁡n→∞lg⁡nn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\lg n}{n}=0，n∈Nn\in\mathbf{N}

2001 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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17★☆☆☆☆
已知 aa，bb，cc 是 △ABC\triangle ABC 中 ∠A\angle A，∠B\angle B，∠C\angle C 的对边，SS 是 △ABC\triangle ABC 的面积，若 a=4a=4，b=5b=5，S=53S=5\sqrt{3}，求 cc 的长度.

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18★☆☆☆☆
设 F1F_1，F2F_2 为椭圆 x29+y24=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 的两个焦点，PP 为椭圆上的一点. 已知 PP，F1F_1，F2F_2 是一个直角三角形的三个顶点，且 ∣PF1∣>∣PF2∣|PF_1|>|PF_2|，求 ∣PF1∣∣PF2∣\frac{|PF_1|}{|PF_2|} 的值.

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19★☆☆☆☆
在棱长为 aa 的正方体 OABC−O′A′B′C′OABC-O'A'B'C' 中，EE，FF 分别是棱 ABAB，BCBC 上的动点，且 AE=BFAE=BF.
(1) 求证：A′F⊥C′EA'F\perp C'E； (2) 当三棱锥 B′−BEFB'-BEF 的体积取得最大值时，求二面角 B′−EF−BB'-EF-B 的大小.（结果用反三角函数表示）

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20★☆☆☆☆
对任意一个非零复数 zz，定义集合 Mz={ω∣ω=z2n−1,n∈N}M_z=\{\omega\mid \omega=z^{2n-1},n\in\mathbf{N}\}.
(1) 设 aa 是方程 x+1x=2x+\frac{1}{x}=\sqrt{2} 的一个根，试用列举法表示集合 MaM_a. 若在 MaM_a 中任取两个数，求其和为零的概率 PP； (2) 设集合 MzM_z 中只有 3 个元素，试写出满足条件的一个 zz 的值，并说明理由.

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21★☆☆☆☆
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用 11 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的 12\frac{1}{2}，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上. 设用 xx 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留的农药量之比为函数 f(x)f(x).
(1) 试规定 f(0)f(0) 的值，并解释其实际意义； (2) 试根据假定写出函数 f(x)f(x) 应该满足的条件和具有的性质； (3) 设 f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{1+x^2}，现有 aa（a>0a>0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 22 份后清洗两次. 试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由.

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22★☆☆☆☆
对任意函数 f(x)f(x)，x∈Dx\in D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
① 输入数据 x0∈Dx_0\in D，经数列发生器输出 x1=f(x0)x_1=f(x_0)； ② 若 x1∉Dx_1\notin D，则数列发生器结束工作；若 x1∈Dx_1\in D，则将 x1x_1 反馈回输入端，再输出 x2=f(x1)x_2=f(x_1)，并依此规律继续下去.
现定义 f(x)=4x−2x+1f(x)=\frac{4x-2}{x+1}.
(1) 若输入 x0=4965x_0=\frac{49}{65}，则由数列发生器产生数列 {xn}\{x_n\}. 请写出数列 {xn}\{x_n\} 的所有项； (2) 若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据 x0x_0 的值； (3) 是否存在 x0x_0，在输入数据 x0x_0 时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出 x0x_0 的值；若不存在，请说明理由.

2001 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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