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03
数列
★★☆☆☆
已知
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
是等差数列，公差
d
d
d
不为零，前
n
n
n
项和是
S
n
S_n
S
n
，若
a
3
a_3
a
3
，
a
4
a_4
a
4
，
a
8
a_8
a
8
成等比数列，则（ ）
A.
a
1
d
>
0
a_{1}d > 0
a
1
d
>
0
，
d
S
4
>
0
dS_{4} > 0
d
S
4
>
0
B.
a
1
d
<
0
a_{1}d < 0
a
1
d
<
0
，
d
S
4
<
0
dS_{4} < 0
d
S
4
<
0
C.
a
1
d
>
0
a_{1}d > 0
a
1
d
>
0
，
d
S
4
<
0
dS_{4} < 0
d
S
4
<
0
D.
a
1
d
<
0
a_{1}d < 0
a
1
d
<
0
，
d
S
4
>
0
dS_{4} > 0
d
S
4
>
0
2015 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题
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20
数列
★★★★★
已知数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
满足
a
1
=
1
2
a_1 = \frac{1}{2}
a
1
=
2
1
且
a
n
+
1
=
a
n
−
a
n
2
a_{n + 1} = a_n - a_n^2
a
n
+
1
=
a
n
−
a
n
2
（
n
∈
N
∗
n\in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）.
(1) 证明：
1
⩽
a
n
a
n
+
1
⩽
2
1 \leqslant \frac{a_n}{a_{n+1}} \leqslant 2
1
⩽
a
n
+
1
a
n
⩽
2
（
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）； (2) 设数列
{
a
n
2
}
\{a_n^2\}
{
a
n
2
}
的前
n
n
n
项和为
S
n
S_n
S
n
，证明：
1
2
(
n
+
2
)
⩽
S
n
n
⩽
1
2
(
n
+
1
)
\frac{1}{2(n+2)} \leqslant \frac{S_n}{n} \leqslant \frac{1}{2(n+1)}
2
(
n
+
2
)
1
⩽
n
S
n
⩽
2
(
n
+
1
)
1
（
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）.
2015 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题
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