设 $y = f(t)$ 是某港口水的深度 $y$ （米） 关于时间 $t$ （时） 的函数. 其中 $0 \leqslant t \leqslant 24$. 下表是该港口某一天从 $0$ 时至 $24$ 时记录的时间 $t$ 与水深 $y$ 的关系：

经长期观察，函数 $y = f(t)$ 的图象可以近似地看成函数 $y = k + A \sin(\omega t + \varphi)$ 的图象. 下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（$\quad$）

已知 $6\sin^2\alpha + \sin \alpha \cos \alpha - 2\cos^2\alpha = 0$，$\alpha \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$，求 $\sin \left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right)$ 的值.