圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与直线 $y = kx + 2$ 没有公共点的充要条件是（ ）

\begin{solution} 直线可写为 $kx-y+2=0$，圆心为原点，半径为 $1$. 圆心到直线的距离为 $\dfrac{2}{\sqrt{k^2+1}}$. 直线与圆没有公共点，当且仅当该距离大于半径，即 $\dfrac{2}{\sqrt{k^2+1}}>1$，所以 $k^2<3$，从而 $k\in\left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$. 当 $k^2=3$ 时直线与圆相切，不能取等号，故选 B. \end{solution}

已知双曲线 $9y^{2} - m^{2}x^{2} = 1$（$m > 0$）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 $\frac{1}{5}$，则 $m =$（ ）

\begin{solution} 将双曲线方程化为 $\dfrac{y^2}{(\frac{1}{3})^2}-\dfrac{x^2}{(\frac{1}{m})^2}=1$，故其顶点为 $\left(0,\frac{1}{3}\right)$ 和 $\left(0,-\frac{1}{3}\right)$，渐近线为 $y=\pm\frac{m}{3}x$. 取顶点 $\left(0,\frac{1}{3}\right)$ 和渐近线 $mx-3y=0$，则点到直线的距离为 由题设 $\dfrac{1}{\sqrt{m^2+9}}=\dfrac{1}{5}$，得 $m^2+9=25$. 又 $m>0$，所以 $m=4$，故选 D. \end{solution}

在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到两点 $(0, -\sqrt{3})$，$(0, \sqrt{3})$ 的距离之和为 $4$，设点 $P$ 的轨迹为 $C$.

(1) 写出 $C$ 的方程； (2) 设直线 $y = kx + 1$ 与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$k$ 为何值时 $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}$？此时 $\lvert AB\rvert$ 的值是多少？