设 $P$ 为曲线 $C: y = x^{2} + 2x + 3$ 上的点，且曲线 $C$ 在点 $P$ 处切线倾斜角的取值范围是 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$，则点 $P$ 横坐标的取值范围是（ ）

\begin{solution} 曲线 $y=x^2+2x+3$ 在横坐标为 $x$ 的点处的切线斜率为 $y'=2x+2$. 切线倾斜角 $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$ 时，$\tan\theta\in[0,1]$，所以 $0\leqslant2x+2\leqslant1$. 解得 $-1\leqslant x\leqslant-\frac{1}{2}$，故选 A. \end{solution}

设函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 - 3a^2x + 1$（$a$，$b \in \mathbf{R}$）在 $x = x_1$，$x = x_2$ 处取得极值，且 $\lvert x_1 - x_2\rvert = 2$.

(1) 若 $a = 1$，求 $b$ 的值，并求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若 $a > 0$，求 $b$ 的取值范围.