已知变量 $x$，$y$ 满足约束条件 ，则 $z = 2x + y$ 的最大值为（ ）

\begin{solution} 三个约束分别化为 $y\leqslant1-x$、$y\leqslant3x+1$ 和 $y\geqslant x-1$. 可行域的三个顶点由边界直线两两相交得到： $(-1,-2)$，$(0,1)$，$(1,0)$. 因为 $z=2x+y$ 是线性函数，只需比较它在三个顶点处的值： $z=-4$、$z=1$、$z=2$. 最大值为 $2$，故选 B. \end{solution}

设 $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，则函数 $y = \frac{2\sin^2 x + 1}{\sin 2x}$ 的最小值为______.

\begin{solution} 令 $t=\tan x$. 由于 $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，所以 $t>0$. 利用 $\sin^2x=\dfrac{t^2}{1+t^2}$ 和 $\sin2x=\dfrac{2t}{1+t^2}$，得 由基本不等式，$3t+\dfrac{1}{t}\geqslant2\sqrt{3t\cdot\dfrac{1}{t}}=2\sqrt{3}$，等号当且仅当 $3t=\dfrac{1}{t}$，即 $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}>0$. 该值可以取到，因此函数的最小值为 $\sqrt{3}$. \end{solution}